平面几何体表面交线的计算方法

平面与立体表面相交，可以认为是立体表面被平面截切，此平面通常称为截平面，截平面与立体表面的交线称为截交线。图2-28所示为平面立体的截交线。

图2-28　平面立体的截交线

截交线的性质：

①截交线一定是一个封闭的平面图形。

②截交线既在截平面上，又在立体表面上，截交线是截平面和立体表面的共有线，截交线上的点都是截平面与立体表面上的公共点。

因为截交线是截平面与立体表面的共有线，所以求截交线的性质，就是求出截平面与立体表面的共有点。

1.平面立体的截交线画法

平面立体的表面是平面图形，因此平面与平面立体的截交线为封闭的平面多边形。多边形的各个顶点是截平面与立体的棱线或底边的交点，多边形的各条边是截平面与平面立体表面的交线。

【例2-6】如图2-29（a）所示，求作正垂面P 斜切正四棱锥的截交线。

图2-29　四棱锥的截切

【解】作图步骤：四棱锥左、右侧面均为正垂面，在主视图上积聚为斜线，与正垂面有相交点四个；两个重影点a′（d′）和b′（c′），下引交棱线即为ad 和bc；根据主、左视图的高平齐要求，由主视图向右引水平线，交于侧垂面积聚斜线，上为c″b″、下为d″a″。(https://www.xing528.com)

当用两个以上平面截切平面立体时，在立体上会出现切口、凹槽和穿孔等。作图时，只要作出各个截平面与平面立体的截交线，并画出各截平面之间的交线，就可作出这些平面立体的投影。

【例2-7】如图2-30（a）所示，正三棱锥被正垂面和水平面截切。已知正面投影，求其他两面投影。

图2-30　三棱锥的截交线

【解】该正三棱锥的切口是由两个相交的截平面切割形成的。两个截平面分别是水平面和正垂面，它们都垂直于正面，因此切口的正面投影具有积聚性。水平截面与三棱锥的底面平行，它与棱面△SAB 和△SAC 的交线DE、DF 必平行于底边AB 和AC，水平截面的侧面投影积聚成一条直线。正垂截面分别与棱面△SAB 和△SAC 交于直线GE、GF。由于两个截平面都垂直于正面，所以两截平面的交线一定是正垂线，作出以上交线的投影即可得出所求投影。

作图步骤：

（1）如图2-30（b）所示，先画水平面△DEF 在俯视图和左视图上的投影，长对正由点d′下引交棱线sa 于d，由d 画底边ab、ac 的平行线，再由e′（f′）下引交平行线于e、f 两点，e、f 连接虚线，据宽相等，高平齐分别画出e″、f″两点及连线。

（2）如图2-30（c）所示，G 点在SA 棱线上由g′画出g、g″两点，分别连接ge、gf和g″e″、g″f″，即画出正垂面△DEF 的投影。

【例2-8】如图2-31（a）所示，正六棱柱被正垂面和水平面截切，已知它的正面投影，求其另外两面投影。

图2-31　六棱柱的截交线

【解】如图2-31所示，1、2、3、4点均在棱上，主俯视图长对正，由上下引，得到点1、2、3、4，水平面积聚成一条线56，高平齐得到投影1、2、3、4，由宽相等得到投影5、6，侧平面在左视图上真实，左视图在右侧面上的二棱线看不见，画虚线。