剪力、弯矩与荷载集度的微分关系

9.3 节从直观上总结出剪力图、弯矩图的一些规律和特点,现进一步讨论剪力图、弯矩图与荷载集度之间的关系。

如图9.18(a)所示,梁上作用有任意的分布荷载q(x),设q(x)以向上为正。取A 为坐标原点,x 轴以向右为正。现取分布荷载作用下的一微段dx 来研究[图9.18(b)]。

图9.18

由于微段的长度dx 非常小,因此,在微段上作用的分布荷载q(x)可以认为是均布的。微段左侧横截面上的剪力是V(x)、弯矩是M(x);微段右侧截面上的剪力是V(x) +dV(x)、弯矩是M(x) +dM(x),并设它们都为正值。考虑微段的平衡,由

得

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结论一:梁上任意一横载面上的剪力对x 的一阶导数等于作用在该截面处的分布荷载集度。这一微分关系的几何意义是,剪力图上某点切线的斜率等于相应截面处的分布荷载集度。再由

上式中,C 点为右侧横截面的形心,经过整理,并略去二阶微量后,得:

结论二:梁上任一横截面上的弯矩对x 的一阶导数等于该截面上的剪力。这一微分关系的几何意义是,弯矩图上某点切线的斜率等于相应截面上的剪力。

将式(9.2)两边求导,可得:

结论三:梁上任一横截面上的弯矩对x 的二阶导数等于该截面处的分布荷载集度。这一微分关系的几何意义是,弯矩图上某点的曲率等于相应截面处的荷载集度,即由分布荷载集度的正负可以确定弯矩图的凹凸方向。