涂层厚度、断裂强度和裂纹密度对界面剪切性能的影响：公式推导

对于断开的小块涂层，界面上切应力的累积量可传递到涂层横截面上的正应力，即涂层内的正应力σ与界面切应力τ（x）有如下关系：

在本研究中，由于涂层较薄，可以假定涂层内的正应力在涂层的横截面上均匀分布。小块涂层中间位置的横截面上受到的最大正应力σmax与界面的切应力τ（x）满足平衡关系，即

令在拉伸载荷的作用下，断开的小块涂层发生的位移为w（x），根据位移w（x）在x方向的微分即为在x方向应变，其关系式为

根据应力与应变的关系

由式（3.3）和式（3.4）可得

式中，E为涂层的弹性模量。对于小块涂层，令拉伸载荷引起的伸长应变为ε，则基体与涂层在变形过程中由于力学性能的不同将会产生变形不协调，因此也必然在界面层内产生剪切应力，该剪切应力的大小为

式中，G为界面层的切变模量；τb为界面层的剪切屈服塑性流动应力。将式（3.5）、式（3.6）代入式（3.1）得

其中：k方程（3.8）的解为

w（x）＝C1exp（kx）＋C2exp（－kx）＋εx

式中，C1、C2为常系数。根据图3.2中小块涂层内正应力和界面切应力的分布特点，在自由边界面上，涂层的正应力σ为零；在小块涂层的中心位置上，界面上的切应力为零，即有已知条件：

σ（a）＝σ（－a）＝0；τ（0）＝0

将这两个已知条件分别与式（3.5）、式（3.6）相结合，可得w（x）表达式为

“sinh”为双曲正弦符号。于是可求得小块涂层内正应力分布的表达式为(www.xing528.com)

“cosh”为双曲余弦符号。界面层发生理想弹塑性变形时的界面切应力分布的表达式为

当x≥ac时，界面切应力分布规律为式（3.7）。表达式（3.11）也可代表界面层只发生弹性变形的情形，此时的约束条件为x≤a。

可令σmax为涂层断裂的临界应力，即涂层的断裂强度σb，于是对于界面层只发生弹性变形的情形，由式（3.2）、式（3.11）可求得涂层裂纹密度的解析表达式为

对于界面层发生理想弹塑性变形的情形，根据式（3.2）、式（3.7）、式（3.11）可求得裂纹密度的解析表达式

其中：

对于塑性基体发生很大的应变的情形，利用双曲函数的极值特征，由式（3.13）可以导出一个饱和裂纹密度的表达式为

从式（3.14）可看出，在基体发生塑性大应变的情形下，饱和裂纹密度与界面层的剪切屈服塑性流动应力、涂层断裂强度和涂层厚度有特定的关系。通过分析式（3.12）、式（3.13）、式（3.14），可得到以下几点结论。

（1）对于一给定的拉伸应变，弱的界面层的或低的界面层的剪切屈服塑性流动应力τb会导致低的裂纹密度。

（2）对于一给定的τb，涂层裂纹密度与涂层厚度有递减的关系，即随着涂层厚度的增加，裂纹密度会相应地减少。

（3）在其他条件都给定的情形下，高的涂层断裂强度σb会导致低的裂纹密度。

式（3.14）也可以变换为

因此，式（3.15）也给出了界面层的剪切屈服塑性流动应力（强度）与涂层厚度、涂层断裂强度和涂层饱和裂纹密度的关系，该式可以用来研究涂层／界面／基体复合体系的界面剪切性能。