正弦交流电的表达方式

正弦交流电的表达形式有解析法、波形图法、旋转矢量法三种。

1.3.1　解析法

解析法是用正弦函数来表示交流电的方法，其一般表示形式为

e＝Emsin（ωt＋φe）

u＝Umsin（ωt＋φu）

i＝Imsin（ωt＋φi）

从解析式中可以得到交流电的最大值（Em、Um、Im），角频率（ω）和初相位（φe、φu、φi）。

1.3.2　波形图法

波形图法是用正弦函数图像来表示交流电的方法，如图3－7所示。从波形图中可以看出交流电的最大值（Um）、周期（T）和初相位（φ0）。

图3－7　正弦交流电的波形图

1.3.3　旋转矢量法

前面两种表达形式不便于运算，为此我们采用旋转矢量法。旋转矢量法是用一个在直角坐标系中绕原点做逆时针方向旋转的矢量来表示正弦交流电的方法，如图3－8所示。

图3－8　旋转矢量法表示原理

（a）矢量图；（b）波形图

以e＝Emsin（ωt＋φ0）为例，在平面直角坐标系中，从原点作一矢量，使其长度等于正弦交流电动势的最大值Em，矢量与横轴Ox正方向的夹角等于正弦交流电动势的初相位φ0，矢量以角速度ω逆时针方向旋转，在任一时刻与横轴Ox正方向的夹角就是正弦交流电动势的相位ωt＋φ0，在纵轴上的投影对应正弦交流电动势的瞬时值。

例如，当t＝0时，旋转矢量在纵轴上的投影为e0，相当于图3－8（b）中电动势波形的a点；当t＝t1时，矢量与横轴的夹角为ωt1＋φ0，此时矢量在纵轴上的投影为e1，相当于图3－8（b）中电动势波形的b点；矢量继续旋转就可得到电动势e的波形图。

交流电本身并不是矢量，因为它们是时间的正弦函数，所以能用旋转矢量的形式来描述它们。为了与速度、力等一般的空间矢量相区别，我们把表示正弦交流电的这一矢量称为相量，旋转矢量法又称为相量法，并用大写字母上加黑点的符号来表示，如、分别表示电动势、电压和电流最大值相量。

通过以上分析可知，正弦量可以用一个旋转矢量来表示。矢量以角速度ω沿逆时针方向旋转。显然，对于这样的矢量不可能也没有必要把它每一瞬间的位置都画出来，只要画出它的起始位置即可。因此，一个正弦量只要它的最大值和初相位确定后，表示它的矢量就可以确定，如图3－9所示。

图3－9　正弦交流电的矢量表示

同频率的几个正弦量的相量，可以画在同一个图上，这样的图称为相量图。画相量图的步骤如下：(www.xing528.com)

（1）画一横轴表示水平正方向。

（2）相量与横轴的夹角表示初相位。根据初相位的正负确定相量的方向；若初相位为正，则相量在横轴上方；若初相位为负，则相量在横轴下方。

（3）相量的长度表示正弦交流电的最大值或有效值。用最大值表示的相量图，称为最大值相量图；用有效值表示的相量图，称为有效值相量图，简称相量图。我们在实际问题中遇到的都是有效值，故把相量图中各个相量的长度缩小到原来的，就得到有效值，有效值相量用表示。

（1）不同频率正弦量的相量不能画在同一图中。

（2）相量只是用来表示正弦量，而不等于正弦量，它只是分析和计算交流电路的一种方法。

边学边练

例：有三个同频率的正弦量为e＝80sin（ωt＋60°）V、u＝40sin（ωt＋30°）V、i＝80sin（ωt－30°）A，请绘制它们的最大值相量图。

解：根据相量图的绘制步骤绘制结果如图3－10所示。

图3－10　电动势、电压、电流相量图

从相量图中能不能看出各正弦量的相位关系？

用相量表示的加、减运算可以按平行四边形法则进行运算。

边学边练

例：已知，60°）A，求i＝i1＋i2的瞬时表达式。

解：首先画出i1和i2的相量图，然后按平行四边形法则画出合相量i，如图3－11所示。

图3－11　相量图

由相量图求得：I＝I1＝I2＝10A，φi＝0

则　

在计算两个同频率正弦量相减（如i＝i1－i2）时，只要把i2的相量旋转180°后，再用平行四边形法则来计算即可，即i＝i1－i2＝i1＋（－i2）。

由以上分析可知，相量法在计算和决定几个同频率交流电之和或差时，比解析法和波形图法要简单得多，而且比较直观。同时，在相量图中各相量之间的相位关系一目了然，故它是研究交流电的重要工具之一。