主要理论证明收录

过程Mi（t；θ0）的证明：由条件期望知

E{dNi(t)}＝E{E[dNi(t)|Zi(t)]}

＝E{E[Yi(t)dNi*(t)|Zi(t)]}

＝E{E[Yi(t)|Zi(t)]E[dNi*(t)|Zi(t)]}

＝E{[Yi(t)][(1-π(Wi(t)))exp{γ′0Xi(t)}λ0(t)dt]}

＝E{Yi(t)(1＋exp{β′0Wi(t)})-1exp{γ′0Xi(t)}λ0(t)dt}

所以E{Mi（t；θ0）}＝0，即Mi（t；θ0）是均值为零的随机过程.

性质5.3.1的证明：由于

故U（t；θ0）可以写成

其中

类似于Lin等（2000）中附录A.2的证明，我们可以知道n-1/2U（t；θ0）是弱收敛的，并且它的极限分布的均值为0，协方差函数在式（5.3.2）中给出.

性质5.3.2的证明：这里我们先证明的存在性，唯一性及相合性.

记，由于

则有(https://www.xing528.com)

由一致强大数定理我们知道，A*（θ）关于θ几乎处处一致收敛到一个非随机的A（θ）函数，且Aθ（0）＝A，其中A在（Δ4）给出，且由条件（Δ4）知A（θ0）是非奇异的，A（θ）关于θ是连续的.那么由A*（θ）的一致收敛及连续性，A（θ0）的非奇异性知，有θ0的一个小范围，在这个范围上，任意大的n，A*（θ）的特征根有界且非零.类似于Lin等（1995）中定理（2.2）的证明，可知存在唯一，且为θ0的强相合估计.

接下来我们把目光放到的渐近正态性上.用的级数展开，A*（θ0）一致收敛性，的相合性以及A的非奇异性，我们可以知道

故由性质5.3.1有，依分布收敛到一个均值为0，协方差矩阵是A-1ΣA-1的正态随机向量，并且是其协方差矩阵的相合估计.性质5.3.3的证明：我们首先证明的相合性.由微分中值定理有

其中θ*在和θ0之间.由一致强大数定理和Lin等（2000）中的引理1知，式（5.7.3）等号右边第一部分一致收敛到0.由条件（Δ1）-（Δ4）知，式（5.7.3）最后一部分中积分几乎处处一致有界.因此由的相合性得，式（5.7.3）最后一部分一致收敛到0.因此在t∈[0，τ]内几乎处处一致收敛于Λ0（t）.

接着证明的弱收敛性.我们发现

利用在θ0处级数展开，式（5.7.4）等号右边第一部分可以写为

由Lin等（2000）中的引理1以及一致强大数定理知，几乎处处有

其中B（t；θ0）由式（5.3.4）给出.由性质（5.3.1）和式（5.7.2）有

则，对于t一致地有

另一方面，对于0≤t≤τ可以得到

于是利用Lin等（2000）中的引理1知，对t一致地有

最后由式（5.7.4）-（5.7.6）知，对t一致地有

由式（5.7.4）知，对于固定t，渐近于均值为0的独立同分布随机变量之和.接着根据多元中心极限我们发现，-Λ0（t）}以有限维分布收敛到均值为零的高斯过程.注意到Φi（t）中B（t；θ0）是非随机的函数，且与t无关，由此可知Φi（t）中第二部分是胎紧的.另一方面，与性质5.3.1的证明相似，Φi（t）中第一部分也是胎紧的，那么Φi（t）也是胎紧的，且弱收敛到一个均值为0的高斯过程，且在s（，t）处的协方差函数为Γ（s，t）＝E{Φi（s）Φi（t）}.同时Γ（s，t）的相合估计在式（5.3.5）给出.