探究球形空腔膨胀理论与弹体运动模型

空腔膨胀理论由Goodier J.N.于1964年提出，是针对不可压缩材料进行研究的。其基本要点是根据一维球形空腔膨胀过程中弹塑性波的传播和介质压缩的解析结果，推导出弹体所受阻力和空腔膨胀速度的解析关系，并把这一关系应用于侵彻过程中以得到侵彻规律。Forrestal M.J.对这一理论作了一系列研究。

空腔膨胀理论在弹体侵彻问题中的应用，是根据质量守恒和动量守恒方程建立空腔膨胀速度与径向应力的关系，从而计算空腔壁上的径向应力，并通过对弹头表面积分析得到弹体受到的侵彻阻力。对于刚性非旋转弹，根据牛顿第二定理建立运动微分方程，由此可求出弹体总的侵彻深度。

6.2.1.1　球形空腔膨胀响应理论

（1）空腔膨胀响应区

如图6.1所示，假设在无限大混凝土介质中，有一球形空腔在膨胀，则空腔周围混凝土响应区可近似分为弹性-开裂-塑性响应区［图6.1（a）］。随着弹丸速度的增大，开裂区与弹性区交界面逐渐超过塑性区与开裂区的交界面，使开裂区逐渐消失，从而形成弹性-塑性响应［图6.1（b）］。

图6.1　球形空腔膨胀区域的划分

（a）弹性-开裂-塑性响应；（b）弹性-塑性响应

在弹性区、开裂区和塑性区的交界面上，必须满足质量和动量守恒的Hugoniot跳跃条件：

式中，c为响应区波速；σr为径向应力；v为运动速度；ρ为混凝土密度；其中下标1和2表示交界面两侧的响应区。

（2）混凝土材料本构方程

1）压力-体积应变关系。混凝土材料的压力-体积应变关系通常采用三段式状态方程来描述。图6.2所示为混凝土材料三段式状态方程，混凝土在动态载荷压缩作用下的响应可以分为弹性区、塑性过渡区和密实区三部分，其中弹性区和塑性过渡区为线性关系，密实区为三次多项式。通过混凝土状态方程试验数据的拟合发现，密实区的三次多项式可以采用线性关系进行近拟。因此，混凝土材料的压力-体积应变关系的三段式状态方程可以表示如下：=（μ-μ1）/（μ+μ1）为修正的体积应变，μ1为压实体积应变。

图6.2　混凝土材料三段式状态方程

式中，体积应变μ=1-ρ0/ρ，ρ0、ρ分别为混凝土材料变形前后的密度；Ke、Kc分别为弹性区、塑性过度区的体积模量；K1、K2、K3为材料常数；pc=fc/3为初始孔隙压实压力；p1为初始密实压力；μc为孔隙初始压实的体积应变；

2）混凝土材料屈服准则。表6.1给出了脆性材料空腔膨胀理论采用的几种屈服准则。作为最常用的工程材料，混凝土材料通常考虑剪切强度的Mohr-Coulomb类屈服准则。表中，fc为单轴抗压强度，ft为单轴抗拉强度，λ、a为材料参数，pc为初始孔隙压实压力，pm为剪切饱和时的临界静水压力，τm为剪切饱和强度，τ0为材料的粘聚强度，b为中间主剪应力作用系数，σ1为三向应力状态下的主应力，σr和σθ为径向和环向的柯西应力（真实应力）。

表6.1　混凝土材料空腔膨胀理论屈服准则

图6.3　Mohr-Coulomb类屈服准则模型示意

（a）Mohr-Coulomb屈服准则；（b）带Tresca限

6.2.1.2　弹体运动模型的建立与分析

（1）弹丸侵彻过程中所受阻力分析

由空腔膨胀理论得到了空腔面径向应力σr与膨胀速度Vr的关系，但公式过于复杂，通常对其拟合简化。目前国内外研究混凝土空腔膨胀模型时，多采用Forrestal在文献中给出的σr和Vr的表达式：

式中，A、B、C均为依赖于球形空腔膨胀的经验参数，其计算公式分别为：

其中，η为混凝土靶压缩体积应变率；τ0为初始孔隙压实压力下径向和环向应力的差值；E为混凝土靶材料的弹性模量；φ为高速杆弹卵形头部的形状系数CRH（Caliber-Radius-Head）。

为了方便采用空腔膨胀理论对弹丸侵彻过程进行轴向受力分析，此处采用CRH描述的卵形弹头，构建垂直侵彻半无限厚混凝土靶模型。如图6.4所示，设定弹径为2a，，侵彻深度为h，弹头卵形部长为L，卵形面法线与弹轴夹角为θ。当弹头侵彻混凝土靶标时，首先进行浅侵彻过程，侵彻深度小于弹头卵形部长度，如图6.4（a）所示；随着侵彻深度h逐渐增大，超过卵形部长度时，便进行深侵彻过程，如果弹体动能足够大，弹体则侵彻透靶标。弹丸整个侵彻过程如图6.5所示。

图6.4　卵形弹结构定义及受力示意

（a）浅侵彻；（b）弹头受力

Forrestal模型中设定弹头所受到的切向摩擦阻力στ与径向正应力σn之间满足下面关系式，其中μ为摩擦系数。

由图6.4（a）所示可得弹头卵形部微环形面上受到的法向阻力为

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图6.5　卵形弹侵彻阶段示意

式中，Vz为弹体运动速度。

由图6.4中的几何关系可得：

则

弹头卵形部微环形面上受到的切向阻力为

由图6.4（b）可得，弹体轴向所受阻力为

整理可得

其中，

对上式进行积分，得弹轴向阻力Fz为

其中[θ1，θ2]表示弹头卵形部积分区间。

根据Forrestal的球形空腔膨胀理论，弹体运动速度和弹体表面空腔膨胀速度之间满足关系式：

则

（2）弹头卵形部积分区间

对于弹体侵彻过程中卵形部积分区间的划分，可以根据图6.6所示弹体侵彻阶段来确定，图中H为靶标厚度。

图6.6　弹体侵彻过程积分区间

（a）h＜L；（b）H＞h＞L；（c）H+L＞h＞H

1）当弹头未完全侵入靶标内时［图6.6（a）］，h＜L，由几何关系可得积分区间[θ1，θ2]为

2）当弹头完全侵入靶标内时［图6.6（b）］，H＞h＞L，由几何关系可得积分区间[θ1，θ2]为

3）当弹头完全侵入靶标内时［图6.6（c）］，H+L＞h＞H，由几何关系可得积分区间[θ1，θ2]为

6.2.1.3　侵彻过程分析

卵形弹的形状比较复杂，只有当弹头全部进入靶标时，弹体受到的阻力函数式（6.18）才有解析解。如图6.6（b）所示的积分区间[θ1，θ2]=[θ0，π/2]，对式（6.18）进行积分可得

在弹头侵彻过程中，可以采用递增方法对弹体侵彻厚混凝土靶标过程中弹体随时间的侵彻深度、速度衰减、加速度值进行数值分析。可将整个侵彻过程分为侵彻深度增量均为Δh的小段（图6.7），在每个相同距离Δh增量内，假设弹体的加速度相同，则在第i个增量内，有如下公式：

图6.7　侵彻深度小段

式中，t0=0；V0为弹体着靶速度；a0=0；h0=0。