长方四棱锥台体的展开方法详解

1）按已知尺寸做出主、俯两视图，并把主视图上各端点标为A（E）、B（F）、C（G）、D（H），俯视图上各端点标为A′、B′、C′、D′、E′、F′、G′、H′（见图2-158）。

2）求做棱线及辅助线的实长（从俯视图中看到此长方四棱锥台的表面是由两对面积相同的梯形所组成。要想用三角形法求做展开，就得在每一个梯形图中做一条辅助线，把每一个梯形图分解成两个小三角形，然后才能用三角形展开法求做展开。根据线段的投影特性可知俯视图中的线段A′B′、B′F′、F′E′、E′A′、D′C′、C′G′、G′H′、H′D′均表示实长，展开时可直接应用）：①在主、俯两视图中各做四条辅助线，即俯视图中四条辅助线是锥底B′点至锥台D′点，锥底B′点至锥台G′点、锥底E′点至锥台D′点、锥底E′点至锥台G′点；主视图中四条辅助线是锥底B点至锥台D点、锥底的E至锥台G点（因为是看不见线，所以用虚线把A点至C点相连）、锥底E点至锥台D点（与主视图中线段AD重合）、锥底B点至锥台G点（与主视图中线段BC重合）。从俯视图中看到此长方四棱锥台体的四条棱线长短是一样的，所以只需求做出一条棱线的实长即可。②做主视图锥底线段AB、锥台线段DC向右引的延长线。在锥台线段DC的延长线上选一点D₁（G₁），过D₁（G₁）点向下做延长的垂线，与锥底线段AB延长线交于点K₁。③以K₁点为圆心，俯视图中的棱线A′D′为半径画弧，与锥底线段AB延长线交于点A₁。过A₁点做线段与D₁（G₁）点相连，那么所得的线段长就是各棱线的实长。④以K₁点为圆心，俯视图中的辅助线B′D′点、E′点至G′点的长为半径分别画弧，与主视图锥底线段AB延长线交于点E₂（B₂）点（因为两条辅助线长短都一样，所以交点为同一个点）。过E₂（B₂）点做线段与D₁（G₁）点相连，此时所得的线段长就是B′点至D′点、E′点至G′点的两条辅助线的实长。⑤以K₁点为圆心，俯视图中的辅助线B′点至G′点长、E′点至D′点长为半径分别画弧，与主视图锥底线段AB延长线、交于点B₂（E₂）点（因为两条辅助线长短都一样，所以交点为同一个点）。过B₂（E₂）点做线段与D₁（G₁）点相连，此时所得的斜线段长就是B′点至G′点、E′点至D′点的两条辅助线的实长。

图2-158 长方四棱锥台体的展开图(www.xing528.com)

3）展开步骤：①在适宜位置做锥底线段AB，长为俯视图中线段A′B′的长。②以线段上的A点为圆心，棱线实长为半径画弧；再以线段B点为圆心，辅助线实长中E₂（B₂）点至D₁（H₁）点长为半径画弧，两弧交于点D。过D点做线段与A点相连，过D点做点画线与B点相连。③以B点为圆心，棱线实长为半径画弧；再以D点为圆心，俯视图中锥台线段D′C′为半径画弧，两弧交于点C。过C点做线段分别与D、B点相连。④以B点为圆心，辅助线实长中B₂（E₂）点至D₁（H₁）点长为半径画弧；再以C点为圆心，俯视图中锥台线段C′G′为半径画弧，两弧交于点G。过G点做线段与C点相连，过G点做点画线与B点相连。⑤以B点为圆心，俯视图中锥底线段B′F′为半径画弧；再以G点为圆心，棱线实长为半径画弧，两弧交于点F。过F点做线段分别与B、G点相连。⑥以F点为圆心，俯视图中锥底线段F′E′为半径画弧；再以G点为圆心，辅助线实长中E₂（B₂）点至D₁（H₁）点长为半径画弧，两弧交于点E。过E点做线段与F点相连，过E点做点画线与G点相连。⑦以G点为圆心，俯视图中锥台线段G′H′为半径画弧；再以E点为圆心，棱线实长为半径画弧，两弧交于点H。过H点做线段分别与G、E点相连。⑧以E点为圆心，辅助线实长中B₂（E₂）点至D₁（H₁）点长为半径画弧；再以H点为圆心，俯视图中锥台线段H′D′为半径画弧，两弧交于点D。过D点做线段与H点相连，过D点做点画线与E点相连。⑨以E点为圆心，俯视图中锥底线段E′A′为半径画弧；再以D点为圆心，棱线实长为半径画弧，两弧交于点A，过A点做线段分别与D点和E点相连。

那么相连后的图形即为长方四棱锥台体的展开图。