数值积分算法及其准则

动态系统通常可以用如下形式的常微分方程组（ODE）来描述

式中，x（t）∈Rⁿ，是一个依赖于初始条件x₀的时变函数。此类问题通常被称为“初值问题”。非线性微分方程组通常不能用解析方法进行求解，换句话说，我们无法直接得到式（5.1）解x（t）的解析表达式，而只能通过数值计算的方法对式（5.1）进行求解。

对式（5.1）进行数值求解，就是在一系列时间节点t₀，t₁，t₂…上用数值计算方法得到近似值x₀，x₁，x₂…来逼近其真实值。其中相邻时间节点之间的时间间隔称为“时间步长”，而每应用一次数值积分算法就将式（5.1）的解向前推进一步。时间步长h_n+1=t_n+1-t_n，可以在整个积分区间t∈[t₀，t_N]中保持不变，也可以每一步都变化。

基本的数值积分算法基于之前已算得的x_n，x_n-1，…以及函数f（x_n，t_n），f（x_n-1，t_n-1），…，以积分步长h_n+1从t_n时刻推进到t_n+1时刻。每个实用的数值积分算法必须在如下方面满足一定的准则。

（1）数值精度；

（2）数值稳定性；(www.xing528.com)

（3）数值效率。

数值精度确保每一步积分计算产生的数值误差是有界的。积分误差的全局误差指的是在某给定时间区间内数值积分积累的总误差。在t_n时刻的全局误差可用下式表达

global error=‖x（t_n）-x_n‖

式中，x（t_n）为式（5.1）在t_n时刻的精确解，x_n为t_n时刻的数值解。当然，如果不能给出x（t）的解析式，就不可能精确确定全局误差；然而确定数值积分算法每一步积分计算的误差边界是可能的。

数值积分算法的数值稳定性指的是每一步计算产生的误差不会传播到后面的计算步中。数值效率与每一步的计算量以及时间步长的大小有关。本章将首先介绍几种不同的数值积分算法，然后对上述准则中的每一个进行更详细的讨论。