平稳随机过程乘法器优化

在通信系统中,普遍采用的线性调制器和相干解调器,其基本功能是乘法器,因此下面就平稳随机过程通过乘法器的问题作一介绍。

图2.9.2　乘法器模型

基本乘法器可以看作一个六端口网络,它有两个输入,一个输出,其模型如图2.9.2所示。在作线性调制器和相干解调器中的乘法器时,m(t)是要传送的消息信号,c(t)是用来承载消息的载波信号,乘法器的输出y(t)称为已调信号。这里选择最常用的正弦信号cosωct作为讨论的载波信号,其中ωc为确定的载波频率。

设乘法器的激励是平稳随机过程m(t),输出过程为

1.输出过程的自相关函数Ry(τ,t)

依自相关函数的定义,有

式中,Rm(τ)=E[m(t)m(t+τ)]是输入平稳过程的自相关函数。

由式(2.9.9)可以看出,当乘法器输入平稳过程时,其输出不是平稳过程,因其自相关函数不仅与时间的间隔有关,还与时间的起点t有关,且是周期函数,有些书也将其称为循环平稳。

2.输出过程的功率谱密度函数py(ω)

由上面所得结论可知,输出过程是一非平稳过程,因此不能直接用自相关函数的傅里叶变换来求输出过程的功率谱密度函数。

假设采用的载波信号是cosωct,要传送的消息信号是某一随机过程m(t),其功率谱密度函数为pm(ω),依据定义,有

其中,MT(ω)是消息截断信号的频谱。截断的消息信号为mT(t),(www.xing528.com)

其频谱为MT(ω),

消息经过乘法器输出为y(t),

其截断后为

截断后频谱为

依定义,经过乘法器后y(t)信号的功率谱密度为

将式(2.9.12)代入上式,得

注意:作线性调制时,消息m(t)的最高截止频率远小于载波频率ωc,因此,MT(ω+ωc)、MT(ω-ωc)两项没有公共部分,二者之积为零。

由式(2.9.13)可以得出这样的结论:低频平稳随机过程通过乘法器,其输出过程的功率谱密度函数是将输入过程的功率谱密度函数在频率轴上搬移到-ωc和+ωc处,且幅度减小为原来的1/4。