平稳随机过程与各态历经性

1.平稳随机过程的定义

平稳随机过程有狭义平稳随机过程和广义平稳随机过程两种。

（1）狭义（严格）平稳随机过程

随机过程X（t）的任意n维概率密度函数与时间起点无关，即

故有如下重要结论：

1）一维概率密度函数与时间无关，即f₁（x；t）=f₁（x）。

2）二维概率密度函数只与时间间隔τ=t₂-t₁有关，即f₂（x₁，x₂；t₁，t₂）=f₂（x₁，x₂；τ）。

（2）广义平稳随机过程

随机过程X（t）的均值为常数，方差为常数，自相关函数只与时间间隔τ有关，即

（3）几点说明

1）狭义平稳一定是广义平稳的。这是因为当X（t）为狭义平稳随机过程时，一定有

2）广义平稳随机过程不一定是狭义平稳的，但服从高斯分布的随机过程例外。服从高斯分布的随机过程如果是广义平稳的，则一定也是狭义平稳的。

3）欲证广义平稳，只需证均值为常数、且自相关函数只与时间间隔τ有关即可。这是因为当这两个条件满足时，方差一定是常数，即

D[X（t）]=E{[X（t）-a（t）]²}=E[X²（t）]-a²=R（0）-a²=σ²

4）通信系统中的随机信号和噪声绝大多数是广义平稳随机过程。以后若不加以特别说明，平稳随机过程均指广义平稳随机过程。

2.平稳随机过程的各态历经性

设x（t）是平稳随机过程X（t）的任意一个样本函数，它是时间的确定函数，其时间平均和自相关函数分别为(www.xing528.com)

若满足，即任意一个样本函数的时间平均等于随机过程的统计平均，则称该平稳随机过程具有各态历经性。

1）含义：平稳随机过程的每一个样本都经历了随机过程的各种可能的状态，即任一样本函数都包含了随机过程的全部统计特性。

2）意义：可用任一样本函数的时间特征（均值、自相关函数等）来代替随机过程的统计特征（数学期望、自相关函数等），使研究和计算得到简化。

3）各态历经与平稳的关系：各态历经过程一定是平稳的，但平稳过程不一定是各态历经的。通信系统中所遇到的随机信号和噪声，一般均能满足各态历经的条件。

3.平稳随机过程自相关函数的性质

平稳随机过程的自相关函数是一个非常重要的概念。它不仅在时域描述随机过程，经过傅里叶变换，还能反映平稳随机过程的频域特性。平稳随机过程自相关函数的示意图如图2-2所示，它具有如下重要性质：

（1）R（τ）=R（-τ）（是τ的偶函数）。

（2）|R（τ）|≤R（0）（R（0）值最大）。

（3）R（0）=E[X²（t）]=S（其中S=a²+σ²，是X（t）的平均功率）。

（4）R（±∞）=a²（是X（t）的直流功率）。

（5）R（0）-R（±∞）=σ²（是X（t）的交流功率即方差）。

（6）R（τ）↔P（f），即R（τ）与功率谱密度P（f）是一对傅里叶变换。

这是著名的维纳-辛钦定理，它是联系时域和频域分析的基本表达式。需要说明的是，随机过程是持续时间无限的非周期功率信号，其频谱特性用功率谱密度P（f）来描述。P（f）具有如下特点：

1）功率谱具有非负性，即P（f）≥0。

2）P（f）是偶函数，即P（f）=P（-f）。

图2-2 平稳随机过程自相关函数示意图