如何利用伴随式进行线性分组码的检错与校正

发送码组A=(an-1an-2…a0)在传输过程中可能会发生误码。设接收到的码组为B=(bn-1bn-2…b0),则收、发码组之差为

或写成

式中,E=(en-1en-2…e0)为错误图样。令

S称为分组码的伴随式(亦称校正子或校验子)。

利用式(10.3.8),可以得到

这样就把校正子S与接收码组B的关系转换成了校正子S与错误图样E的关系。

在接收机中只要用式(10.3.18)计算校正子S,并判断计算结果是否为0,就可完成检错工作。因为如果是正确接收(E=0),则B=A+E=A,依照式(10.3.8)有

如果接收码组不等于发送码组(B≠A),则E≠0,故S=EHT≠0。

在讨论怎样利用校正子S完成纠错工作之前,先看一下S与E的关系。

前面介绍的(7,4)线性分组码(见式(10.3.9))

设接收码组的最高位有错,错误图样E=(1000000),计算

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它的转置

恰好是典型监督矩阵H中的第一列。

如果是接收码组B中的次高位有错,E=(0100000),那么算出的S=(110),其转置ST恰好是典型监督矩阵H中的第二列。

换言之,在接收码组只错一位码元的情况下,计算出的校正子S总是和典型监督矩阵HT中的某一行相同。

可以证明,只要不超出线性分组码的纠错能力,接收机依据计算出的校正子S,可以判断码组的错误位置并予以纠正。这里仅讨论纠正一位错误码元的情况。

例10.3.1 已知前述(7,4)线性分组码某码组,在传输过程中发生一位误码,设接收码组B=(0000101),试将其恢复为正确码组。

解 (1)首先确定码组的纠、检错能力

查表10.3.1,得到最小码距dmin=3,故此码组可以纠正一位错码或检测两位错误码元。

(2)计算ST

已知前述(7,4)线性分组码的典型监督矩阵

利用矩阵性质计算校正子的转置,得

(3)恢复正确码组

因为此码组具有纠正一位错误的能力,且计算结果ST与H矩阵中的第三列相同,相当于得到错误图样E=(0010000),所以正确码组为