离散化：CFD计算的首要步骤

在对指定问题进行CFD计算之前，首先将计算区域离散化，即对空间上连续的计算区域进行划分，把它划分成许多个子区域，并确定每个区域中的节点，从而生成网格。然后将控制方程在网格上离散，把偏微分形式的控制方程转化为各个节点上的代数方程组。

由于因变量在节点之间的分布假设及推导离散方程的方法不同，求解流体流动和传热方程的数值计算方法较多，如有限差分法（Finite Difference Method，FDM）、有限元法（Finite Element Method，FEM）和有限体积法（Finite Volume Method，FVM）。

FDM是数值解法中一种比较古老的算法，曾是最主要的数值计算方法。它是将求解域划分为差分网格，用有限个网格节点代替连续的求解域，然后将偏微分方程的所有微分项用相应的差商代替，推导出含有离散点上有限个未知数的差分方程组。求差分方程组的解，就是微分方程定解问题的数值近似解，这是一种直接将微分问题变为代数问题的近似数值解法。

FEM是20世纪60年代出现的一种数值计算方法。FEM是将一个连续的求解域任意分成适当形状的许多微小单元，并于各小单元分片构造插值函数。然后根据极值原理（变分或加权余量法），将问题的控制方程转化为所有单元上的FEM方程。把总体的极值作为各单元极值之和，形成嵌入了指定边界条件的代数方程组，求解该方程组就得到各节点上待求的函数值。

FVM又称控制体积法（Control Volume Method，CVM），是在FDM的基础上发展起来的一种离散化方法，其基本思路是：将计算区域划分为网格，并使每个网格点周围有一个互不重复的控制体积；将待解微分方程对每一个控制体积积分，从而得出一组离散方程。其中的未知数是网格点上的特征变量。为了求出控制体积的积分，必须假定特征变量值在网格点之间的变化规律。从积分区域的选取方法看，FVM属于加权余量法中的子域法；从未知解的近似方法看，FVM属于采用局部近似的离散方法。简而言之，子域法与离散就是FVM的基本方法。(www.xing528.com)

图4-8所示为一维问题的FVM计算网格，图中标出了节点、有限体积、界面、网格线。图中P表示所研究的节点，其周围的控制体积也用P表示，东侧相邻的节点及相应的控制体积均用E表示，西侧相邻的节点及相应的控制体积均用W表示，控制体积P的东、西两个界面分别用e和w表示，两个界面的间距离用Δx表示。

图4-8 一维问题的FVM计算网格

图4-9所示为二维问题的FVM计算网格，图中阴影区域为节点P的控制体积。与一维问题不同，节点P除了有西侧邻点W和东侧邻点E外，还有北侧邻点N和南侧邻点S。控制体积P的4个界面分别用e、w、s和n表示，在东西和南北两个方向上的控制体积宽度分别用Δx和Δy表示，Δx可以不等于Δy。而对于三维问题，增加上、下方向的两个控制体积，分别用T和B表示，控制体积的上、下界面分别用t和b表示。

图4-9 二维问题的FVM计算网格