模态结构应力的计算公式

首先创建系统有限元形式的动力学模型，结构模态计算以后先提取模态振型，并结合模态坐标下的系统动力学求得的模态坐标的时间历程，根据线性系统模态叠加的思想，将模态振型叠加转化为节点力的线性叠加，然后获得模态结构应力，下面给出具体步骤。

第一步：模态节点力的获得。

前面已经提到结构应力的计算需要节点力，既然模态节点位移可以叠加，那么模态节点力也可以叠加。节点力是单元之间的作用力，可以由下式求出：

{F_e}=[K^e]{u} （9-12）

式中 [K^e]——第5章中定义的局部坐标系下的单元刚度矩阵；

{u}——局部坐标下的节点位移向量；

{F_e}——单元局部坐标下的单元节点力向量。

从某阶模态向量中提取指定单元e的节点相关的位移向量{u^ϕ}后，再利用坐标变换矩阵[B]就可以变换获得全局坐标下模态节点力：

{F_e}=[B]^T[K^e][B]{u^ϕ} （9-13）

当节点被多个单元共享时，需要采用隔离体的办法对相邻的节点力进行合成。

第二步：模态节点力的坐标变换。

系统坐标系（x，y，z）下求解的焊趾处模态节点力向量{F}_j和力矩向量{M}_j需要变换到以焊线定义的局部坐标下，这是计算结构应力的一个必要步骤。

全局坐标系到焊线局部坐标的坐标变换矩阵[T]，可以通过有限元网格模型的节点坐标获得。注意焊线局部坐标的y′向始终与焊线的切线方向垂直，x′方向与焊线相切，如图9-2所示。

图9-2 基于焊线的局部坐标示意(www.xing528.com)

接着将全局坐标下的节点力向焊缝局部坐标系（x′，y′，z′）变换，变换后得到焊线局部坐标系节点力向量{F′}_j和力矩向量{M′}_j。

第三步：模态结构应力的获得。

基于节点载荷及相邻节点距离l以及定义的长度等效矩阵L，可以进行节点载荷等效计算，即：将每一阶模态焊线节点对应的焊线局部坐标下y′轴方向的节点力转化为该方向单元边上的线载荷f_j′[见第5章式（5-20）]，将每一阶模态对应的每个节点焊线局部坐标下的x′轴方向的节点力矩，转化为该方向单元边上的线力矩m_j′[见第5章式（5-21）]。注意，线载荷f_j′及线力矩m_j′值对节点数量n不敏感。

由于已经获得了焊线上的节点线力及线力矩，这样就可以基于结构应力的计算公式最终获得与第j阶模态对应的每个节点上的模态结构应力向量σⁱ_s。

式中 i——焊线节点编号；

n——沿焊线分布的总节点数；

σⁱ_m——模态膜应力；

σⁱ_b——模态弯曲应力。

令A为板厚向量，式（9-15）还可以采用矩阵形式简洁地表示为模态结构应力向量：

{σ_s}_j=[T]{{F}_j，{M}_j}[L]^-1A （9-16）

模态结构应力σⁱ_s也是一种载荷响应，不过是通过模态坐标时间历程的叠加获得的，它的单位与结构应力的单位一样，且是由规一化以后的模态振型向量导出的。

由于用于坐标变换的T、L及L^-1矩阵只与焊线位置有关，在模态结构应力计算过程中它们都是不随时间变化的常量矩阵，因此模态节点力与模态结构应力之间存在线性关系，这也证明了模态结构应力的叠加是成立的，对上述步骤加以归纳给出了疲劳寿命预测流程，如图9-3所示。