Nj的不同计算公式，全面探讨

式（1-67a）为N_j的第一种计算公式。

将式（1-39）和式（1-40）代入式（1-67a）得

式（1-71）展开后得

在式（1-72）中

将式（1-73）和式（1-74）代入式（1-72），化简后得

将式（1-75）代入式（1-70），得到N_j的第二种计算公式为

齿面Σ₁上点M₁处的主方向单位矢量分别为g₁和g₂，主曲率为κ₁和κ₂。取活动标架（M₁；g₁，g₂，n₁）；以Σ₁上的曲率线为参数曲线，可得到

由微分几何中的Rodrigues方程可得到

将上面各式代入式（1-67b）得

N_j=Ω_j×n₁+κ₁（V_j·g₁）g₁+κ₂（V_j·g₂）g₂ （1-76）

将

Ω_j×n₁=Ω_j×（g₁×g₂）=g₁（Ω_j·g₂）-g₂（Ω_j·g₁）

代入式（1-76），得到N_j的第三种计算公式为

N_j=λg₁+μg₂ （1-67c）

λ=κ₁（V_j·g₁）+Ω_j·g₂ （1-77）(www.xing528.com)

μ=κ₂（V_j·g₂）-Ω_j·g₁ （1-78）

在齿面Σ₁的点M₁处的切平面上，任取互相垂直的两方向α_ξ和α_η，由主方向g₁至α_ξ的有向角为φ_ξ（见图1-3）。取活动标架（M₁；α_ξ，α_η，n₁），可得到

上两式分别对Ω_j和V_j取数积，得

图1-3 活动标架（M₁；α_ξ，α_η，n₁）

将以上六式代入式（1-67c），并利用Euler公式和Bertrand公式加以简化，得到N_j的第四种计算公式为

式中 κ_1ξ、κ_1η——齿面Σ₁在点M₁处沿α_ξ和α_η方向的法曲率；

τ_1ξ——齿面Σ₁在点M₁处沿α_ξ方向的短程挠率。

取α_ξ=α_α=V_j/V_j，α_η=α_β=n₁×V_j/V_j，κ_1ξ=κ_1Vj和τ_1ξ=τ_1Vj。将各参数代入式（1-67d）、式（1-79）和式（1-80）后，得到N_j的第五种计算公式为

将式（1-81）和式（1-82）代入式（1-67e），得到N_j的第六种计算公式为

将式（1-67f）代入式（1-46）得

将式（1-41）代入式（1-34）得

由式（1-83）和式（1-84）得