展开曲面Σ1的必要条件

刀刃曲线Γ_d作双自由度运动展成曲面Σ₁的条件是：Γ_d与Σ₁连续相切不脱开，即Σ₁上的点是Γ_d在σ₁里形成曲线族{Γ_d}₁上的一个点；而且，在该点Γ_d的单位切矢量α与关于δ和φ的相对速度V_d1δ和V_d1φ共面。其数学模型为

r₁=r₁（θ，δ，φ）=r_d+O_1d （2-11）

Φ_d=Φ_d（θ，δ，φ）=（α，V_d1δ，V_d1φ）=0 （2-12）

式（2-11）和式（2-12）是曲面Σ₁的方程。但式（2-12）通常是超越函数，难以由此二式求曲面Σ₁的曲率参数。

根据图2-1对相对运动作适当限制，可将σ_d相对于σ₁的运动分解为：σ_d相对于σ_e的运动，运动参数为δ；σ_e相对于σ₁的运动，运动参数为φ。将O_1d（δ，φ）=O_1e（φ）+O_ed（δ）代入式（2-11），v_de=V_d1δ和v_e1=V_d1φ代入式（2-12）；式（2-11）和式（2-12）变换如下：

r₁=r_e+O_1e （2-13）

Φ_d0=（α×v_de）·v_e1=0 （2-14）(www.xing528.com)

其中 r_e=r_e（θ，δ）=r_d+O_ed （2-15）

式（2-15）为刀刃曲线Γ_d在坐标系σ_e里按参数δ运动形成的轨迹曲面Σ_d的方程。

Σ_d的单位法矢量则为

于是曲面Σ₁可视为由虚拟产形面Σ_d与构件1按参数φ相对运动而展成，其共轭条件方程可由式（2-14）和式（2-16）得到，即

Φ_d=Φ_d（θ，δ，φ）=n_d·v_e1=0 （2-17）