模态分析及其在多自由度系统中的应用

由动力学理论可知，在含有小阻尼的多自由度系统中，若周期性激励载荷的频率ω接近系统的任何一个固有频率都会使系统的振幅无限增大而引起共振。解决途径之一就是在设计初始阶段对整个系统及其关键结构件进行模态分析，获得固有频率和振型数据，进而通过改变几何特征，改变刚度等办法，在设计方案上避开外界激励载荷频率。

模态分析是研究结构动力特性一种近代方法，是系统辨别方法在工程振动领域中的应用。模态是机械结构的固有振动特性。在多自由度系统中，每个固有频率对应于系统的一种特定的振动形态称为模态。每一个模态具有特定的固有频率、阻尼比和模态振型。这些模态参数可以由计算或试验分析取得，这样一个计算或试验分析过程称为模态分析。这个分析过程如果是由有限元计算的方法取得的，则称为计算模态分析；如果通过试验将采集的系统输入与输出信号经过参数识别获得模态参数，称为试验模态分析。

模态分析的理论基础来源于动力学方程，可以应用拉格朗日力学推得：设系统具有n个广义自由度，以n个广义坐标q_i（i=1，2，…，n）表示系统的位形。系统的势能V（q₁，q₂，…，q_n）为广义坐标的函数，在平衡处满足：

当系统在平衡位置附近作近似振动时，广义坐标及其导数均为小量。设平衡位置处的势能V取零值，将平衡位置附近的势能V展成泰勒级数，仅保留广义坐标的二阶微量，则导出：

系数K_ij均为常数，定义为

系统动能T为广义速度的二次齐次函数：

系数m_ij均为常数，定义为

Q_i是与广义坐标q_i（i=1，2，…，n）对应的非保守广义力（包含阻尼力），L=T-V为拉格朗日函数，拉格朗日第二类方程的一般形式为

将式（12-4）和式（12-6）代入拉格朗日方程，导出多自由度系统的动力学方程组为：

写作矩阵形式为

式中 M——质量矩阵

K——刚度矩阵

q——位移矢量

——加速度矢量

Q——非保守力矢量，包含阻尼影响因素模态分析是确定结构在无阻尼、自由振动条件下的固有振动特性，则结构的固有频率和振型的求解可转化为(www.xing528.com)

式（12-11）有以下特解：

q=Asin（ωt+θ） （12-12）

式中 A——振幅组成的n阶列阵

ω——角频率

θ——初相角

此特解表示系统内各个坐标偏离平衡值时均以同一频率ω和同一初相角θ作不同振幅的简谐运动。

将式（12-12）代入式（12-11），化作矩阵K和M的特征值问题，A有非零解的充分必要条件为系数行列式等于零：

｜K-ω²M｜=0 （12-13）

展开后得到ω²的n次代数方程，即系统的本征方程

ω²ⁿ+a₁ω^2（n-1）+…+a_n-1ω²+a_n=0 （12-14）

ω_i（i=1，2，…，n）为系统的n个固有频率，对于平衡状态稳定的正定系统，方程（12-14）存在ω²的n个正实根。

每个本征值ω²_i对应于各自的本征向量A^（i），n个本征向量均满足：

（K-ω_iM）A=0（i=1，2，…，n） （12-15）

由方程（12-15）得到的A（i）称为系统的第i阶主振型或第i阶模态。