直角三角形法求解直线投影实长

1.直角投影定理

空间垂直的两直线（相交或交叉），若其中的一条直线平行于某投影面，则两直线在该投影面上的投影仍为直角；反之，若两直线在某投影面上的投影为直角，且其中有一直线平行于该投影面，则两直线垂直（相交或交叉），称之为直角投影定理。

如图3-20所示，AB⊥BC，因为BC//H面，所以在投影图中，水平投影ab⊥bc。

图3-20　直角投影原理

（a）直观图；（b）投影图

应用直角投影定理可以解决空间成直角的情况在投影图上的作图问题，例如，求距离和直角三角形、等腰三角形、长方形、正方形、菱形等的投影作图问题。

【例3-8】　如图3-21（a）所示，求A点到正平线CD间的距离。

【解】　分析：因为CD为正平线，利用直角的投影特性，可以作出CD的垂线AB，就表示A点到CD的距离。但是AB是一般位置直线，它的投影不反映实长，因此，需要用直角三角形法求出它的实长，这个实长才是所求的真实距离。作图步骤如图3-21（b）所示。

（1）过点a′作c′d′的垂线，并与c′d′相交于点b′，得垂直线段的正面投影a′b′。

（2）自点b′向下引连系线，在cd上找到点b，连ab即垂直线段的水平投影。

（3）用直角三角形法求出线段AB的实长a′B，即得所求的真实距离。

图3-21　求点到直线间的距离(www.xing528.com)

（a）已知条件；（b）作图过程

2.直角的投影特性

（1）两直线相交成直角的投影特性。当两直线相交成直角时，两直角边有下列四种情况：

1）当直角的两边都不与投影面平行时，在该投影面上的投影不是直角。

2）当直角的两边都与投影面平行时，在该投影面上的投影仍是直角。

3）当直角的一边平行于投影面，另一边垂直于该投影面时，在该投影面上的投影为一条直线。

4）当直角的一边平行于投影面，另一边倾斜于该投影面时，在该投影面上的投影仍是直角。

（2）两直线交叉成直角的投影特性。按立体几何的规定，由一直线的一个端点作另一与它相交叉的直线的平行线，两相交直线之间的夹角，即这两条交叉直线之间的夹角，因此，两直线交叉垂直时，除了一边平行于投影面、另一边垂直于该投影面时，后者在这个投影面上的积聚投影不在前者的同面投影上以外，其他投影特性都与两直线相交成直角的投影特性相同，如图3-22所示。

图3-22　交叉两直线垂直

知识拓展

直线投影的识读

识读直线投影图，首先要判别出直线在空间的位置。判别直线在空间的位置，应根据直线在三面投影图中的特性来确定，如有一个投影平行于投影轴，而另一个投影倾斜，那么这一空间直线一定为投影面的平行线。