【摘要】：理论1单目标决策模型AP1的最优解是原多目标决策模型MOP的非劣解。设单目标决策模型AP2的最优解为。且存在k，使得fk＜fk（x′），gk＞gk（x′），根据单目标满意度隶属函数的定义可知μ[fi（x′）]≥，μ[gj（x′）]≥。同样，根据目标总体协调度的定义可以推出λ＜λ（d′），因此，不是AP2的最优解，这与实际矛盾。如果x0是MOP问题的非劣解，则证明完毕。同时由于为AP3的最优目标函数值，故为AP3的最优解。
理论1 单目标决策模型AP1的最优解是原多目标决策模型MOP的非劣解。
证明：采用反证法。
若x0为AP1的最优解，而不是MOP的非劣解，则存在x′∈X：对于任意i和j有fi（x0）≤fi（x′），gj（x0）≥gj（x′）。且存在k，使得fk（x0）＜fk（x′），gk（x0）＞gk（x′），根据目标总体协调度的定义可以推出λ（d0）＜λ（d′），因此，x0不是AP1的最优解，这与实际矛盾。所以，当x0为AP1的最优解时，x0必然是MOP的非劣解（或有效解）。
证毕。
理论2 单目标决策模型AP2的最优解是原多目标决策模型MOP的非劣解。
证明：采用反证法。
设单目标决策模型AP2的最优解为（x0，y0）。
同样，根据目标总体协调度的定义可以推出λ（d0）＜λ（d′），因此，（x0，y0）不是AP2的最优解，这与实际矛盾。所以，当（x0，y0）为AP2的最优解时，它必然也是MOP的非劣解（或有效解）。
证毕。
理论3 若单目标决策模型AP3的最优解（x0，y0）中x0构成的集合为ø，则ø集合中必然包括原多目标决策模型MOP的非劣解。(www.xing528.com)
证明：取x0和y0，且x0∈ø。
如果x0是MOP问题的非劣解，则证明完毕。
如果x0不是MOP问题的非劣解，则存在非劣解x′，并满足fi（x0）≤fi（x′），gj（x0）≥gj（x′）。因此，λ（d′）≥λ（d0）≥λ（d-）。同时
所以，x′∈ø，即ø集合中包括原多目标决策模型MOP的非劣解。
证毕。
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