齐次坐标变换与D-H坐标系

一、坐标系的齐次变换

动坐标系O′-uvw与定坐标系O-xyz的初始位置重合，动坐标系O′-uvw绕固定坐标系O-xyz的x轴转动α角（如图5-1所示），可以得到动坐标系O′-uvw绕固定坐标系O-xyz的姿态矩阵，记为

图5-1　坐标系绕x轴旋转

同理，有动坐标系O′-uvw绕定坐标系O-xyz的y轴旋转β的姿态矩阵R（y，β）和绕z轴旋转γ的姿态矩阵R（z，γ）的基本旋转矩阵如下：

在绕轴旋转矩阵的基础上，可推导一般坐标系间的齐次变换矩阵，如图5-2所示。空间有3个坐标系{1}～{3}，坐标系{2}的3个相互垂直的向量在坐标系{1}中的表示为姿态矩阵。将原点位置向量1 O2和姿态矩阵结合，得到，便可以完整地描述坐标系{2}在坐标系{1}下的位置和姿态。但是，为3行4列的矩阵，计算不方便，因此在该矩阵的最后增加一行[0 0 0 1]，将矩阵变为4行4列。该矩阵被称为齐次变换矩阵，由于齐次变换矩阵能够描述一个坐标系在另一个坐标系下的位置和姿态，因此又称位姿矩阵。一般用T表示。

图5-2　一般坐标系间的变换

因此，坐标系{2}在坐标系{1}下的齐次变换矩阵为

坐标系{3}在坐标系{2}下的齐次变换矩阵为

则坐标系{3}的原点在坐标系{1}下的位置为

坐标系{3}在坐标系{1}下的旋转矩阵。根据齐次变换矩阵的定义，坐标系{3}在坐标系{1}下的齐次变换矩阵为

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因此，很容易得到。动坐标系在固定坐标系中进行连续的齐次变换时，如果齐次变换是相对于固定坐标系中各坐标轴旋转或平移的，则齐次变换为左乘，称为绝对变换；如果动坐标系相对于自身坐标系的当前坐标轴旋转或平移，则齐次变换为右乘，称为相对变换。

二、D-H坐标系的建立

机器人可以看作是由一系列连杆通过关节串联而成的运动链。机器人的各连杆通过关节连接在一起，关节有移动副与转动副两种。按从机座到末端执行器的顺序，由低到高依次为各关节和各连杆编号，机座的编号为杆件0，与机座相连的连杆编号为杆件1，依此类推；机座与连杆1的关节编号为关节1，连杆1与连杆2的连接关节编号为关节2，依此类推。在基座与各连杆起始位置建立坐标系。

坐标系建立具体步骤如下。

（1）找出各关节轴，并标出这些轴线的延长线。在下面的步骤（2）至步骤（5）中，仅考虑两个相邻的轴线（关节轴i和i+1）。

（2）找出关节轴i和i+1之间的公垂线或关节轴i和i+1的交点，以关节轴i和i+1的交点或者公垂线与关节轴i的交点作为连杆坐标系{i}的原点。

（3）规定轴沿关节轴i的指向。

（4）规定轴沿公垂线从i到i+1，如果关节轴i和i+1相交，则规定轴垂直于关节轴i和i+1所在的平面。

（5）按照右手定则确定轴。

（6）当第一个关节变量为0时，规定坐标系{0}和{1}重合。对于坐标系{n}，其原点和的方向可以任意选取。但是选取时，通常尽量使连杆参数为0。

按照上述步骤建立的坐标系如图5-3所示，连杆参数可以定义如下：

图5-3　D-H坐标系的建立

（1），从移动到的距离；

（2），从旋转到的角度；

（3），从移动到的距离；

（4），从旋转到的角度。

机器人的连杆均可以用以上4个参数ai-1、αi-1、di、θi进行描述。对于一个确定的机器人关节来说，运动时只有关节变量的值（对于旋转关节为θi、平移关节为di）发生变化，其他3个连杆参数均保持不变。用ai-1、αi-1、di、θi描述连杆之间运动关系的方法称为Denavit-Hartenberg法，其中ai-1、αi-1、di、θi称为D-H参数。