正运动学分析的方法与步骤

一、正运动学分析与工作空间

俯仰和偏航运动是实验鼠重要的运动，俯仰运动主要出现在实验鼠的攀压、直立、嗅探等系列动作中，偏航运动则在实验鼠的理毛、转身、嗅探等动作中经常出现（图3-2）。在本节中，重点分析机器鼠的俯仰和偏航运动学[3]。

俯仰运动是由J1、J2、J5和J74个关节综合形成的复合运动，通过控制θ1、θ2、θ5和θ7即可以实现俯仰运动。当机器鼠进行俯仰运动时，θ3、θ4和θ6并不影响其俯仰方向的运动，还是保持表5-1中的初始值。基于D-H转换矩阵，鼻尖相对于世界坐标系的位姿为

其中，

与俯仰运动类似，偏航运动是由J3、J4和J63个关节综合形成的复合运动，通过控制θ3、θ4和θ6即可以实现偏航运动。当机器鼠进行偏航运动时，θ1、θ2、θ5和θ7并不影响其偏航方向的运动，还是保持表5-1中 的初 始值。基于D-H转换矩阵，鼻尖相对于世界坐标系的位姿为

其中，

此外，需要进一步获取各关节运动的极限位置，以避免运动干涉。通过将机器鼠的关节运动边界投影到一个垂直平面，可将三维运动干涉转化为二维交叉点。图5-5（a）和（b）分别显示了机器鼠尾部与前端关节运动干涉模型。A1B1和C1D1表示θ1转动过程中的最大投影长度，E1F1和G1H1表示θ2转动过程中的最大投影长度；A2B2和C2D2表示θ6转动过程中的最大投影长度，E2F2和G2H2表示θ7转动过程中的最大投影长度。浅色方形区域表示关节设计运动空间，阴影部分表示运动干涉区域，红色虚线表示干涉与非干涉区域的边界。

二、逆运动学分析

机器鼠的逆运动学是已知其鼻尖的位姿，求得使鼻尖到达此位姿所需的各个关节变量的问题，即从笛卡儿空间到关节空间的映射[4]。对于俯仰运动来说，我们仅仅知道机器鼠鼻尖Js的x和z坐标，需要求解的是4个未知关节变量（θ1、θ2、θ5和θ7）。通过分析大量实验鼠的运动，寻找其中的规律，可以减少未知关节变量的数量。首先，实验鼠的颈部通常只是局部动作，对俯仰运动的影响很小。因此，在整个过程中，关节变量θ7可以保持为初始值。同时，可以很容易地测量出俯仰角αp，由关节变量θ1、θ2和θ5共同决定。对于自由度较少的机器人，使用三角几何法计算关节变量比较有效[5-8]。机器鼠俯仰运动简化模型如图5-6所示。鼻尖相对于坐标系{x0，y0，z0}的位姿为（x，z），J5在坐标系{x0，y0，z0}下的位姿为，鼻尖在坐标系{x7，y7，z7}下的位姿为。

图5-5　机器鼠运动干涉模型（见彩插）(www.xing528.com)

（a）尾部；（b）前端

图5-6　机器鼠俯仰运动简化模型

由关节度量的几何关系，可得

其中，

类似地，对于偏航运动来说，仅知道鼻尖的x和y坐标，需要求解3个未知关节变量（θ3、θ4和θ6）。通过分析大量实验鼠的运动，发现偏航运动时腰部前后端具有对称性，即θ3和θ4的值大致相等。机器鼠偏航运动简化模型如图5-7所示，鼻尖相对于坐标系{x0，y0，z0}的位姿为（x，y），J6在坐标系{x0，y0，z0}下的位姿为，鼻尖在坐标系{x7，y7，z7}下的位姿为。

图5-7　机器鼠偏航运动简化模型

由关节变量的几何关系，可得

其中，