晶体学基础：晶胞、点阵和晶面指数

自然界存在的固态物质可分为晶体和非晶体两大类，晶体与非晶体的最本质的差别在于组成晶体的原子、离子、分子等质点是规则排列的，而非晶体中这些质点是无规则的堆积在一起的，非晶体的结构与液体结构相同，实际上非晶体就是过冷的、粘度很大的液体，或者说是被冻结的液体。

1.晶体结构、空间点阵、晶胞、晶系

晶体的基本特征是原子（或分子、离子、原子集团）有规则的排列，现在来探讨由一种或多种原子所构成的晶体结构的种类。可能的晶体结构是无限多种的，但是可以利用晶体学方法对它进行分类。

为了研究晶体中物质质点排列的规律性，需要进行抽象，将实际存在的原子、离子或原子集团等物质质点抽象为纯粹的几何点，而完全忽略它的物质性，这样抽象出的几何点称为阵点或结点，阵点或结点在空间周期性的规则排列称为空间点阵。所以空间点阵是由具有物质性的原子、离子、原子集团的实际排列抽象出来的几何形象。空间点阵的主要特征是每个阵点或结点在空间都具有完全相同的环境，所谓完全相同的环境就是指在某个结点上向四周观察和从任何其他结点上向四周观察所见的景象完全相同。

必须强调指出，并不是晶体中的每一质点（原子、离子或原子集团）都必定和点阵中的结点相对应，例如NaCl的晶体就不属于简单立方点阵，而属于面心立方点阵。应该把每一对Na^+与Cl-看成同属一结点。或者说，如果把Na+位置称为结点，则每一结点除有一个Na+之外还附有一个Cl-。空间点阵只有14种，而晶体结构却几乎是无限多种的。

在空间点阵中可以选择一个小的平行六面体作为基本单元，平行六面体的大小和形状可以用三维空间的a、b、c三个单位矢量来表示，这样的平行六面体称作晶胞。整个空间点阵可以看作是由很多大小和形状完全相同的晶胞紧密地堆垛在一起而形成的。矢量a、b、c不仅确定了单位晶胞，而且还确定了借这些矢量的平移而形成的整个点阵。即整个点阵中的所有阵点可以借矢量a、b、c由位于原点的一个阵点进行重复平移而产生。点阵中任何阵点的矢量坐标为Pa、Qb、Rc。对空间点阵的研究总是选取它的晶胞作为代表，通过对晶胞的研究就可以得知整个空间点阵的情况。但是在同一空间点阵中有可能选择出多种不同形状和大小的平行六面体作为晶胞。究竟应如何选取晶胞呢？为了统一和方便，规定在选择晶胞时应满足下列条件：①晶胞的几何形状应与宏观晶体具有同样的对称性；②平行六面体内相等的棱和角的数目应最多；③当平行六面体的棱间存在直角时，直角的数目应该最多；④在满足上述条件的前提下晶胞应具有最小的体积。

晶胞的三个棱边分别用单位矢量a、b、c表示。a、b、c之间相互夹角分别为α（c、b间）、β（a、c间）、γ（a、b间）。a、b、c、α、β、γ称为晶胞的六个参数，a、b、c称为点阵常数。

法国晶体学家布喇菲（Bravais）曾用数学方法推算出所有晶体分属于14种空间点阵，根据晶胞的六个参数可以把这14种空间点阵归纳为七大晶系，如表2-4所示。14种空间点阵如图2-16所示。在14种布喇菲晶胞中又可分为简单晶胞（亦称初基晶胞）和复合晶胞（亦称非初基晶胞），所谓简单晶胞即每个晶胞中只含有一个阵点，也就是只在晶胞的角顶位置上含有阵点。复合晶胞中则含有一个以上的阵点，除角顶位置外，在其他地方仍然有阵点，例体心，面心、底心等位置。每个晶胞的阵点数N可记为

式中，Ni为晶胞内的阵点数；N_f为晶胞面上的阵点数；N_c为晶胞角顶上的阵点数。

表2-4 空间晶系与点阵

图2-16 14种布喇菲空间点阵的晶胞

1—简单三斜2—简单单斜3—底心单斜4—简单正交5—底心正交6—体心正交7—面心正交8—简单六方9—菱形（三角）10—简单四方11—体心四方12—简单立方13—体心立方14—面心立方

这14种点阵外的其他任何形式的点阵都可以用这14种点阵之一来表示。例如底心四方点阵可以用简单四方表示，如图2-17所示。面心四方点阵可以用体心四方来表示，如图2-18所示。

前面讲到在点阵中任何阵点的矢量坐标可以记为Pa、Qb、Rc，当采用简单晶胞时，P、Q、R都是整数，而当采用复合晶胞时P、Q、R可能是分数。虽然复合晶胞也可以改用简单晶胞来表示，例如面心立方晶胞可以用简单三角晶胞来表示，但采用复合的面心立方晶胞更合适，因为面心立方晶胞具有高度对称性。在14种布喇菲点阵中共有8种复合晶胞。

图2-17 底心四方点阵和简单四方点阵的关系

图2-18 面心四方点阵和体心四方点阵的关系

晶体虽然一共只有14种布喇菲点阵，但由于每个阵点可以存在着一个或多个同种或异种物质质点（原子、离子、原子集团），而且这些质点在阵点上的排列组合图案也可以有多种形式，所以每种空间点阵可以统括无限多种结构的晶体。

2.晶面指数、晶向指数

在晶体中由物质质点所组成的平面称为晶面，物质质点所组成的直线称为晶向。在晶体中各不同晶向和晶面上原子（或离子、原子集团，下同）排列的密度不一样，这种结构上的差异引起晶体在各个方向上的物理、化学、力学性能上存在差异，这就是晶体的各向异性。在各种物理化学过程中（例如弹性变形、塑性变形、相变等），不同的晶向和晶面的表现往往存在着差异，而某些特殊的晶面（例如最密排面）往往起着特殊的作用，为了区别和研究的方便，有必要用适当的指数符号来标定晶体中的晶面和晶向。

（1）晶面指数标定

在晶体中，原子的排列构成了许多不同的晶面，故要用晶面指数来分别表示这些晶面。晶面指数的确定方法如下：①在正交晶系中，在点阵中设立参考坐标系，使坐标系的三个轴与晶胞的三个棱边重合，以晶胞的点阵常数a、b、c分别为三个坐标轴的单位长度；②求出被标定晶面与x、y、z三个坐标轴相交所得截距，为了避免出现零截距，故所选坐标系原点一定要在被标定晶面之外，而不能在被标定晶面上；③取各截距倒数；④将三个倒数化为最小的简单整数，并加上圆括号，即表示该晶面的指数，一般记为（hkl）。图2-19所示的ABC晶面的指数为（236）。如果被标定晶面与坐标轴的负方向相截，则在指数数字上方冠以负号。

图2-19 ABC晶面指数的标定

在晶体中凡位于坐标系的同一象限中互相平行的平面都具有同一晶面指数。如果在晶面指数上都冠以负号，则所代表晶面仍与未冠负号的晶面互相平行，只是不在坐标系的同一象限中。所以晶面指数（hkl）不是指一个晶面，而是代表相互平行的一组晶面。在晶体中有些晶面具有共同的特点，其上原子排列和分布是完全相同的，晶面间距也相同，只是晶面的位向不同，这样的几个等同晶面称为一个晶面族。在立方系中这样的晶面族中的各个晶面的指数数字相同，但数字的排列次序和正负号不同。晶面族符号记为{hkl}。在立方系中{hk1}晶面族中所包括的晶面可以用h、k、l数字的排列组合方法求之。例如{100}包括（100）、（010）、（001）。{110}包括（110）、（101）、（011）、（）、（）、（）。{111}包括（111）、（）、（）、（111）。{hkl}晶面族中所包含的晶面数可这样计算：若h、k、l中三个数都不相等，且都不等0，则此晶面族包括有3！×4组晶面，3！为h、k、l的排列数；如果在h、k、l中有两个相等则包括有（3！/2！）×4组晶面；如果在h、k、l中有一个0存在，则包括有（3！/2）×4组晶面。

（2）晶向指数的标定

假设有一组互相平行的晶向L₀、L₁、L₂…，其中L₀通过原点O，如图2-20所示。设R₀为L₀上最接近原点的结点，其坐标为（x₀，y₀，z₀），则OR₀为L₀上单位矢量。如果a、b、c为过原点O的三个坐标轴上的单位矢量，则OR₀=x₀a+y₀b+z₀c。设R₁（x₁，y1，z1）为L1上一点，而R（x，y，z）为L1上任一点，则OR₁=x1a+y1b+z1c，OR=xa+yb+zc，而RR₁=OR-OR₁。由于同一方向上（即相互平行晶向上）结点是周期性重复的，所以RR₁=OR-OR₁=n（OR₀），n为整数。故

比较式（2-46）两边a、b、c的系数，得到L₁的方程式为

对于L₂、L₃等其他晶向同样存在有方程式

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由此得出

所以利用x₀：y₀：z₀可以表示一束平行的晶向，它还可以化为三个互质数u、ν、w的连比，即

则u、ν、w为晶向L₀、L1、L2…的晶向指数，记为[uν w]。所以晶向指数的求法有两种：①在坐标系中过原点做被标定晶向的平行线L₀，取L₀上任一结点坐标（x，y，z），将其化为三个互质整数的连比x：y：z=u：ν：w，则[uν w]为晶向指数。②在坐标系中写出晶向L上任意二结点的坐标（x₁，y₁，z₁）和（x₂，y₂，z₂），将（x₁-x₂）：（y₁-y₂）：（z₁-z2）化为三个互质整数之连比即可得到晶向指数。同样，在晶体结构中那些原子密度相同的等同晶向同属一个晶向族，用符号<uν w>表示。

图2-20 推导晶向方程式的示意图

凡平行于同一直线的晶面都属于一个晶带，而该直线则称为晶带轴。同一晶带的晶面其晶面指数和晶面间距可能完全不同，但它们必须都与晶带轴平行。当晶带轴的指数为[uν w]时，则晶带中任何一个晶面的指数（hkl）都必须满足hu+kν+lw=0。任何两个非平行的晶面都属于同一晶带，因为它们一定都平行于其交线，如果此两晶面指数分别为（h₁k₁l₁）和（h₂k₂l₂），则其交线即晶带轴的指数为

如果有两晶向[u₁ν₁w₁]和[u₂ν₂w2]，则此两晶向所决定的晶面指数为

在立方晶系中指数相同的晶面和晶向是互相垂直的，例如[110]⊥（110）和[111]⊥（111）。晶体结构中的各组晶面，其面间距的数值各不相同，面间距大的晶面，其指数比较低，而面间距小的晶面指数比较高。在立方系中晶面间距可由下式求出（a为晶胞棱长）

如果两个晶向的指数分别为[u₁ν₁w₁]和[u₂ν₂w₂]，当α=β=γ=90°时（正交晶系，α、β、γ晶胞棱的夹角），两个晶向间所夹角Φ的余弦（a、b、c为晶胞棱长）

如果一晶面指数为（hkl），一晶向指数为[uν w]，则晶面与晶向间夹角Φ可以认为是晶向与晶面法线间夹角的余角，即Φ=90°-ψ，其中ψ为晶向与晶面法线间夹角，当α=β=γ=90°时，有

（3）六方系晶面晶向指数的标定

对于六方晶系也可以采用三轴坐标系，底面上的x₁、x₂轴之间夹角为120°，z轴垂直于Ox₁x₂平面。在此坐标系中，确定晶面指数的方法仍按前所述，六方柱体的六个侧面的晶面指数分别为（100）、（010）、)、(100)、(010)、(110）。六方柱体的各个侧面上原子排列相同，且所在位置也保持一定的对称关系，属于等同面，但从它们的晶面指数上却不能明确表示出来。在此三轴坐标系中晶向指数标定方法亦与前相同。

图2-21 六方晶系晶面晶向指数

为了显示六方晶系的对称性，常常采用四轴坐标系，即在Ox₁x₂平面上，加一轴Ox₃，且使其与Ox₁、Ox₂均成120°，如图2-21所示。此时晶面指数的标定方法不变，则六方柱体的六个侧面的晶面指数分别为（10101、0110)、(1100)、(1010)、）、它可以显示出六方晶面的等同性和对称性，它的一般形式记为（hkil），可以证明i=-（h+k）。在四轴坐标系中，由于点的坐标与三轴坐标有所不同，故晶向指数的标定方法也不同，四轴坐标系中晶向指数一般记为[uvtw]。三轴坐标系与四轴坐标系之间存在一定的换算关系：假设有一点R，在三轴坐标系中坐标为（x，y，z），其平面坐标为（x，y）；在四轴坐标系中坐标为（x₁，x₂，x₃，z），其平面坐标为（x₁，x₂，x3），但在平面上用三个坐标值来表示一个点，可以有多种不定解，故此点R还必须满足)、(

x₁+x₂+x₃=0 （2-57）

坐标系中单位矢量要满足

a₁+a₂+a₃=0 （2-58）

因此，

假设a=a₁、b=a₂，则根据

OR=xa+yb+zc （2-60）

可以得到

式（2-61）和式（2-62）为x、y、z三轴坐标系与x₁、x₂、x₃、z四轴坐标系点的坐标的换算关系式。

对于晶向指数三轴坐标系[UVW]与四轴坐标系[uvtw]亦有转换关系式，由于u+v+t=0，故