描述行波波动过程的方程式

1.单相线路行波的波动方程描述

故障附加网络在故障发生时突然被施加了一个电压源-ef，在该电源的作用下，故障点将产生向线路两侧运动的行波。在具有分布参数的输电线路中，沿线各点故障分量的电压、电流满足如下的运动方程：

式中　x——观察点的位置坐标；

　　　t——观察时刻；

　　　L、C、G、R——线路参数；

　　　u、i——故障分量电压、电流。

设线路无损，即G、R为零，则波动方程（54）可简化，假设单根无损分布参数线路上的电压u和电流i用在线路上的位置x和时间t为变数的微分方程来表示，便可写出下列方程式

式中　L、C——线路单位长度的电感和对地电容。

将式（55）分别对x、t微分，经变换可以得到波动方程

式（56）有达朗贝尔（D′Alembert）解为

式中　——沿着x正方向传播的前行波和沿x反方向传播的反行波；

v——行波的传播速度，；

Zc——波阻抗，。

2.三相线路行波的波动方程描述

三相输电线路的波过程与前面描述的单相线路不同，考虑到三相之间存在电磁耦合，各相线路波动方程不再独立，采用如下的方程式描述

式中　uA、uB、uC——三相电压；

　　　iA、iB、iC——三相电流；

　　　LS、LM——各相导线的自感、互感；

　　　CS、CM——各相导线的对地电容、相间电容。

式（58）和式（59）以矩阵形式描述为

对于无损线路，且均匀换位则[L]、[C]为对称矩阵，利用矩阵变换，可以把具有耦合的相量空间变换成为各自独立的、无耦合的模量空间。

如下所示的凯伦布尔变换

变换后的各模电压、模电流与相电压、相电流之间具有以下关系

于是，三相线路中的行波可用三个独立的模分量表示(https://www.xing528.com)

式中　v0、vα、vβ——0、α、β模分量波速度，；

Z0、Zα、Zβ——0、α、β模阻抗，。

3.行波的折射与反射

在电力系统中，均匀线路只有在一定条件下存在，当行波沿导线运动时，如果线路的参数或者波阻抗在某一点处忽然改变，将在节点处发生折射与反射，其过程如图53所示。

在图53中给出两条波阻抗不同的线路连接情况。当用u1和i1代表线路1内的电压和电流，用u2和i2代表线路2内的电压和电流，则在两线的连接处有u1＝u2和i1＝i2。假定从线路1来的入射波未到达线路2以前，线路2上原来没有电压。因此只要波一到达A点，线路2就会立刻发生一个折射波，它的运动方向与入射波相同。同时在线路1内，除了入射波以外，由于Z1c不等于Z2c，又发生一个与入射波运动方向相反的波，称为反射波。否则在两线路的连接处就无法满足上述电压和电流恒等的条件。如果以下标E，R，T分别代表入射、反射和折射各波，在线路连接处有

图53　波的折射与反射

同时

解上述式（516）和式（517）可得

式中　K T——折射系数，；

KR——反射系数，。

容易得到

因为Z2C的变化范围在0～∞之间，所以KT的变化范围在0～2之间，KR的变化范围在-1～＋1之间。实际上Z2C可视为当行波到接点A时，由行波看到的等效波阻抗，也就是与接点A相连接的所有其他线路以及回路的波阻抗并联。以图54为例，表示了线路12的一端接有两条线路23、24的情况。假定线路12的波阻抗为Z12，线路23、24的波阻抗分别为Z23、Z24；并假定入射电压波为一直角波，其幅值等于1。这时反射系数可以表示为

图54　折射波与反射波

在求得KR后，即可用式（520）算出KT。当反射电压和折射电压确定后，便不难求出反射电流和折射电流。

故障行波同样在图51中的n母线上会发生反射与折射；假设非金属性故障，在故障点也出现折射现象。这样导致测量的电压电流行波远比上述公式复杂。

结合式（517）～式（520），设各条线路的波阻抗相等，根据母线出线回数的多少进行分析：

（1）当母线上只有一条出线（即故障线路）时，Z2c＝∞，行波在该处的反射系数为1，折射系数为2。电压反射行波与原行波大小相等，极性相同，使电压行波幅值加倍。电流反射行波与原行波大小相等，方向相反，相互抵消，线路出口处没有电流行波出现。

（2）当母线上有两条出线（即故障线路和一条非故障线路）时，Z2c＝Z1c，行波在该处的反射系数为0，折射系数为1，在这种情况下行波不发生反射，全部折射到非故障线路。故障线路与非故障线路的电压行波、电流行波的大小和方向一致。

（3）当母线上有多条出线（即故障线路和两条及以上非故障线路）时，Z2c＜Z1c，行波在该处的反射系数为小于1的负数，折射系数为小于1的正数。电压反射行波与原行波极性相反，使得故障线路的电压行波幅值减少，但极性不变；电流反射行波与原行波方向相同，导致故障线路的电流行波幅值增大，方向不变。

由此可见：母线上仅有一条出线时，母线的反射使得电压行波翻倍、电流行波为零；母线上有两条出线时，无反射行波，电压行波、电流行波传输特性不变；母线上有两条以上出线时，母线的反射使得电压行波减小、电流行波增大。

以上分析的是金属性短路故障情况，当故障点有过渡电阻Rf时，母线的反射行波会在故障点发生折射。故障点的反射系数KR和折射系数KT分别为

当发生金属性接地故障时，KR＝-1，KT＝0，行波在故障点发生全反射，母线的电压反射行波到达故障点后，再一次反射，使得电压行波幅值为零；但母线的电流反射行波到达故障点后，再一次反射，方向不变，幅值加倍。当Rf≠0时，反射系数为一模值小于1的负实数，而折射系数为小于1的正实数，在故障点有折射波透过。此时，故障线路的电压行波幅值减少，极性不变；故障线路的电流行波幅值增大，方向不变。

由此可见，故障点的反射、折射使得故障线路出口处的电压行波减小，电流行波增大。实际上，故障行波在故障点、母线及其他波阻抗不连续的地方发生反射和折射，使得行波在输电线路上传播非常复杂。