定义11.11 对于一个非空集合G，在G中定义一个二元运算“·”，满足
1）封闭性：任意的a、b∈G，有a·b∈G；
2）结合律：任意的a、b、c∈G，有a·b·c=（a·b）·c=a·（b·c）；
3）单位元：存在元素e∈G，使得任意的a∈G，有e·a=a·e=a，这个元素e被称为单位元；
4）逆元：任意的a∈G，存在a-1∈G，使得a·a-1=a-1·a=e，a-1被称为元素a的逆元。
该集合称为群，记为{G，·}。
【例11-31】 集合{0，1}对于⊕（异或）运算是一个群。
显然，集合{0，1}封闭性和结合律都满足；
因为0⊕0=0，0⊕1=1，
所以，这里的单位元e=0；
又由于0⊕0=0，1⊕1=0，
所以集合{0，1}每一个元素的逆元是它本身；
集合{0，1}对于⊕运算是一个加法群。
定理11.18 群具有如下性质：
1）群中的单位元是唯一的。
2）群中每一个元素的逆元是唯一的。
3）消去律：任意的a、b、c∈G，如果a·b=a·c，则b=c；如果b·a=c·a，则b=c。(www.xing528.com)
定义11.12 如果一个群满足交换律，即任意a、b∈G，有a·b=b·a，则称该群为交换群（或阿贝尔群）。
群中的元素个数为有限个的群称为有限群，否则称为无限群。有限群中元素的个数称为群的阶。
定义11.13 如果群中每一个元素都是某一个元素g∈G的幂，则称该群为循环群。循环群总是交换群，元素g称为该群的本原元素。
【例11-32】 设D是一个非平方整数，则集合
对于加法运算
构成了一个交换加法群。但对于乘法运算
不能构成一个交换乘法群。
变换是一个集合到自身的映射。对于任意的a∈R（R为实数集合），我们规定集合A上的两个变换f和g的乘法如下：
fg（a）=f（g（a））
定义11.14 一个集合的若干变换如果对于变换的乘法构成群，则称为变换群。变换群一般不是交换群。
定义11.15 一个有限集合的一一变换称为置换。一个有限集合的若干置换构成的群称为置换群。置换群是一种特殊的变换群。
【例11-33】 设n=3，置换π为：
1→2，2→3，3→1
则有
定义11.16 已知σ和τ是n元置换，则σ和τ的乘积也是n元置换，记作στ。
【例11-34】 已知
，
，求στ和τσ。
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