测量误差与数据处理：11.3分析

11.3.1 测量误差的概念

零件的制造误差，包括加工误差和测量误差。由于计量器具和测量条件的限制，测量误差是始终存在的，所以测得的实际尺寸就不可能为真值，即使是对同一零件同一部位进行多次测量，其结果也会产生变动。测量误差可用绝对误差（测量误差）或相对误差来表示。

1.绝对误差

绝对误差是测量结果减去被测量的真值，常称为测量误差或误差。测量结果是由测量所得到的赋予被测量的值。

式中 δ—— 绝对误差；

L—— 测量结果；

L0—— 被测量的真值。

用绝对误差表示测量精度，只能用于评比大小相同的被测值的测量精度。而对于大小不相同的被测值，则需要用相对误差来评价其测量精度。

2.相对误差

相对误差是测量误差（取绝对值）除以被测量的真值。由于被测量的真值不能确定，因此在实际应用中常以被测量的实际测得值代替真值进行估算。即等于绝对误差与被测值之比。

式中 ε—— 相对误差。

例如，测得两个轴径大小分别为50 mm和30 mm，它们的绝对误差都是为0.01 mm，则它们的相对误差分别为ε1=0.01/50=0.0002，ε2=0.01/30=0.000 33，因此前者的测量精度比后者高。相对误差通常用百分比来表示，即ε1=0.02%，ε2=0.033%。

11.3.2 测量误差的来源

1.测量方法误差

测量方法误差是指测量方法的不完善引起的误差。例如，在测量中，工件安装、定位不准确或测头偏离、测量基准面本身的误差和计算不准确等所造成的误差。

2.计量器具的误差

计量器具的误差是指测量仪器本身所具有的误差以及各种辅助测量工具、附件等的误差。

（1）设计原理误差。

指测量仪器的测量原理、结构设计和计算不严格等所造成的误差。例如，设计计量器具时，为了简化结构而采用近似设计的方法，结构设计违背了阿贝原则（阿贝原则是指测量长度时，应使被测量的测量线与量仪中作为标准量的测量线重合或同一条直线上）。

如图11.7所示，用游标卡尺测量轴的直径，游标卡尺的读数刻度尺（标准量）与被测轴的直径不在同一条直线上，两者相距S，违背了阿贝原则。在测量过程中，卡尺活动量爪倾斜一个角度φ，此时产生的测量误差δ按下式计算

图11.7 用游标卡尺测量轴径

δ=L - L1=S·tanφ≈S·φ

（2）制造和调整误差。

制造和调整误差是指测量仪器的零件制造和装配误差会引起测量误差。例如，读数装置中分划板、标尺、刻度盘的刻度不准确和装配偏心、倾斜，仪器传动装置中的杠杆、齿轮副、螺旋副的制造和装配误差，光学系统的制造和调整误差，传动元件之间的间隙、摩擦和磨损，电子元件的质量误差等。

（3）测量力误差。

在接触测量时，为了保证接触可靠，必须有一定的测量力，会引起被测零件表面和量仪的测量系统产生弹性变形，产生测量误差。但是这类误差值很小，一般可以忽略不计。

3.测量环境误差

测量环境误差是指测量时环境条件不符合标准的测量条件所引起的误差。例如，环境温度、湿度等不符合标准都会产生测量误差，在长度测量中温度的影响是主要的，其余各因素只在高精度测量或有要求时才考虑。当温度偏离标准温度（20 °C），引起的测量误差为

式中 L—— 被测长度；

α1， α2—— 被测零件、计量器具的线膨胀系数；

t1，t2—— 测量时被测零件、计量器具的温度，°C。

因此，测量时应根据测量精度的要求，合理控制环境温度，以减小温度对测量精度的影响。

4.人为误差

人为误差是指测量人员主观因素造成的人为差错，它也会产生测量误差。例如，测量人员使用计量器具不正确、眼睛的视差或分辨能力造成的瞄准不准确、读数或估读错误等，都会产生测量误差。

11.3.3 测量误差的分类

测量误差可分为系统误差、随机误差和粗大误差3类。

1.系统误差

系统误差是指在相同的条件下，多次测取同一量值时，绝对值和符号均保持不变，或者绝对值和符号按某一规律变化的测量误差。前者称为定值系统误差，后者称为变值系统误差。

定值系统误差，对测量引起的误差大小是不变的。例如，在光学比较仪上用相对法测量零件尺寸时，调整量仪所用量块的误差，对每一次测量引起的误差大小是不变的。

变值系统误差，对测量的影响是按一定的规律变化的。例如，量仪分度盘的偏心引起仪器的示值按正弦规律周期变化，刀具正常磨损引起的加工误差，温度均匀变化引起的测量误差等。

2.随机误差

随机误差是指在相同的条件下，多次测取同一量值时，绝对值和符号以不可确定的方式变化着的测量误差。

随机误差主要是由测量过程中一些偶然性因素或不稳定因素引起的。例如，量仪传动机构的间隙、摩擦、测量力的不稳定以及温度波动等引起的测量误差，都属于随机误差。

对单次测量而言，随机误差的绝对值和符号无法预先知道。但对于连续多次重复测量来说，随机误差还是符合一定的概率统计规律，因此，可以应用概率论和数理统计的方法来对它进行分析与计算，从而判断其误差范围。

3.粗大误差

粗大误差是指超出在规定测量条件下预计的测量误差。粗大误差是由于测量者粗心大意造成不正确的测量、读数、记录及计算上的错误，外界条件的突然变化等原因造成的误差。所以该误差很容易被发现和剔除。正确的测量过程应该避免粗大误差。

11.3.4 测量精度的分类

测量精度是指被测几何量的测得值与其真值的接近程度。它和测量误差是从两个不同的角度来说明同一概念的术语。测量误差越大，则测量精度就越低。测量精度有以下几种分类：

（1）正确度，它反映测量结果中系统误差的影响程度。系统误差小，则正确度就高。

（2）精密度，它反映测量结果中随机误差的影响程度。随机误差小，则精密度就高。

（3）准确度，它反映测量结果中系统误差和随机误差的综合影响程度。如果系统误差和随机误差都小，则准确度就高。如图11.8所示。

如图11.8（a）所示，弹着点距靶心较远，弹着点却密集，所以系统误差大、正确度差，随机误差小、精密度高。如图11.8（b）所示，弹着点虽围绕靶心，但弹着点却较散，所以系统误差小、正确度高，随机误差大、精密度差。如图11.8（c）所示，弹着点距靶心较近，弹着点密集，准确度高，所以系统误差小、正确度高，随机误差小、精密度高。如图11.8（d）所示，弹着点距靶心较远，弹着点也很散，准确度低，所以系统误差大、正确度差，随机误差大、精密度低。

图11.8 精密度、正确度和准确度

11.3.5 测量数据的处理

1.随机误差的特性及其评定

通过对大量的测试实验数据进行统计分析，随机误差通常服从正态分布规律，其正态分布曲线如图11.9所示，正态分布曲线的数学表达式为

式中 y—— 概率密度；

σ—— 标准偏差；

δ—— 随机误差（L-L0）；

e—— 自然对数的底，e=2.718 28。

e的指数绝对值越小，随机误差出现的概率越大，反之则越小。即δ越小，y值越大；δ=0时，y值达到最大值。

图11.9 正态分布曲线

概率密度y的大小与随机误差δ、标准偏差σ有关。概率密度最大值随标准偏差大小的不同而异。当σ1＜σ2＜σ3，则y1max＞y2max＞y3max。即σ越小，则曲线就越陡，随机误差的分布就越集中，测量精度就越高；反之，σ越大，则曲线就越平坦，随机误差的分布就越分散，测量精度就越低。随机误差的标准偏差σ可用式（11.9）计算得到：

式中 δ1，δ2，δ3，…，δN—— 测量列中各测得值相应的随机误差；

N—— 测量次数。

由概率论可知，随机误差正太分布曲线下所包含的面积等于其相应区间确定的概率，倘若随机误差区间在（-∞～+∞）时，则其概率为

如果随机误差区间落在（-δ～+δ）间时，则其概率为

为了化成标准正态分布，将上式进行变量置换，设则式（11.11）化为

函数φ(t)称为拉普拉斯函数。表11.4列出了不同t值对应的φ(t)值。

表11.4 正态概率积分值φ(t)

表11.5给出t=1，2，3，4四个特殊值所对应的2φ(t)值和[1-2φ(t)]值。由此表可见，当t=3时，在δ=±3σ范围内的概率为99.73%，δ超出该范围的概率仅为0.27%，即连续进行370次的测量，随机误差超出±3σ的只有1次。

表11.5 四个特殊t值对应的概率

在实际测量时，测量次数一般不会太多。随机误差超出±3σ的情况实际上很难出现。因此，可取δ=±3σ作为随机误差的极限值，记作

显然，δlim也是测量列中单次测量值的测量极限误差。选择不同的t值，就对应有不同的概率，测量极限误差的可信程度也就不一样。随机误差在±tσ范围内出现的概率称为置信概率，t称为置信因子或置信系数。在测量中，通常取置信因子t=3，则置信概率为99.73%。

例如对一轴径进行测量，测得值为20.003 mm。若已知标准偏差σ=0.000 3 mm，置信概率取99.73%，则测量结果为：20.003±3×0.000 3=20.003±0.000 9（mm）。即被测量的真值有99.73%的可能性在20.002 1～20.003 9 mm。

2.随机误差的处理(www.xing528.com)

对某一对象在相同的测量条件下重复测量N次，得到测量列的测得值为L1，L2，L3，…LN。设测量列的测得值中不包含系统误差和粗大误差，被测量的真值为L0，则可得出相应各次测得值的随机误差分别为

则对随机误差的处理首先应按式（11.9）计算单次测量值的标准偏差，然后再由式（11.13）计算得到随机误差的极限值δlim。故测量结果为

但是，由于被测量的真值L0未知，所以不能按式（11.9）计算求得标准偏差σ的数值。在实际测量时，当测量次数N充分大时，随机误差的算术平均值趋于零，因此可以用测量列中各个测得值的算术平均值代替真值，并用一定的方法估算出标准偏差，进而确定测量结果。具体处理过程如下：

（1）计算测量列中各个测得值的算术平均值。

设测量列的各个测得值分别为L1，L2，…，LN，则算术平均值L为

式中 N—— 测量次数。

（2）计算残差。

用算术平均值代替真值后，计算各个测得值Li与算术平均值之差称为残余误差（简称残差），记为νi，即

残差具有如下两个特性：

残差的代数和等于零，即这一特性可用来校核算术平均值及残差计算的准确性。

残差的平方和为最小，即由此可以说明，用算术平均值作为测量结果是最可靠且最合理的。

（3）估算测量列中单次测量值的标准偏差。

用测量列中各个测得值的算术平均值代替真值计算得到各个测得值的残差后，可按贝赛尔（Bessel）公式计算出单次测量值的标准偏差的估计值。贝赛尔公式为

式（11.16）中根号内的分母为（N-1），而不是N，这是因为受N个测得的残差代数和等于零这个条件约束，所以N个残差只能等效于（N-1）个独立的随机变量。

这时，单次测量值的测量结果L可表示为

（4）计算测量列算术平均值的标准偏差。

若在相同的测量条件下，对同一被测量进行多组测量（每组皆测量N次），则对应每组N次测量都有一个算术平均值，各组的算术平均值不相同。不过，它们的分散程度要比单次测量值的分散程度小得多。根据误差理论，测量列算术平均值的标准偏差与测量列单次测量值的标准偏差σ存在如下关系：

式中 N—— 每组的测量次数。

多次（组）测量所得算术平均值的测量结果L可表示为

3.粗大误差的处理

粗大误差的数值（绝对值）相当大，其明显歪曲了测量结果。在测量中应尽可能避免。如果粗大误差已经产生，则应根据判断粗大误差的准则予以剔除，粗大误差的判定准则有3σ准则、肖维勒准则、格拉布斯准则以及狄克逊准则等。这里介绍常用的3σ准则。

3σ准则认为，当测量列服从正态分布时，残余误差落在±3σ外的概率仅有0.27%，故将超出±3σ的残余误差作为粗大误差。因此，当测量列中出现绝对值大于3σ的残差时，即

如果式（11.20）成立，则认为该残差对应的测得值含有粗大误差，应予以剔除。

4.直接测量的数据处理

【例11.1】 在立式光学计上对某一轴径进行等精度测量15次，按测量顺序将各测得值依次列于表11.6中，试求测量结果。

解：假设计量器具已经检定且测量环境得到有效控制，可认为测量列中不存在定值系统误差。

（1）求测量列算术平均值，根据式（11.14）有

（2）判断系统误差。

根据残差的计算结果（见表11.6），误差的符号大体上正负相同，且无显著变化规律，因此可以认为测量列中不存在变值系统误差。

（3）计算测量列单次测量值的标准偏差，由式（11.16）得

（4）判断粗大误差。

按照3σ准则，3σ=3×2.95=8.85（μm），而表11.6中测量列中所有的残差的绝对值：＜3σ。因此可判断该测量列中不存在粗大误差。

（5）计算测量列算术平均值的标准偏差由式（11.18）得

（6）计算测量列算术平均值的测量极限误差。

（7）确定测量结果，由式（11.19）得

该轴颈的测量结果为24.990 mm，其误差在±0.002 3 mm内的可能性为99.73%。

表11.6 数据处理计算表

续表

5.间接测量的数据处理

（1）函数误差的基本计算公式。

间接测量中，被测量通常是直接测量值（实测量）的多元函数，它表示为

y =F(x1, x2, …, xi , …, xn)

式中 y—— 间接测量的量值；

x1, x2, …, xi, …, xn—— 各直接测量值。

由于直接测量的测得值误差也按一定的函数关系传递到被测量的测量结果中，所以间接测量误差则是各个直接测得值误差的函数，这种误差为函数误差。

y +Δy = F( x1 +Δx1 , x2 +Δx2 , …, xn +Δxn )

该函数的增量可用函数的全微分来表示，即

式中δy—— 被测量的测量误差；

δXi —— 各个实测量的测量误差；

—— 各个实测量的测量误差的传递系数。

（2）函数系统误差的计算。

如果各个实测量xi的测得值中存在着系统误差Δxi，那么被测量y也存在着系统误差Δy。以Δxi代替式（11.21）中的δXi，则可近似得到函数系统误差的计算式：

（3）函数随机误差的计算。

由于各个实测量xi的测量值中存在着随机误差，因此被测量y也存在着随机误差。根据误差理论，函数的标准偏差 σy与各个实测量的标准偏差σxi的关系为

如果各个实测几何量的随机误差均服从正态分布，则由式（11.23）可推导出函数的测量极限误差的计算公式：

式中 δlim(y)—— 被测几何量的测量极限误差；

δlim(xi)—— 各个实测量的测量极限误差。

（4）测量结果的计算。

【例11.2】如图11.6所示，通过直接测量尺寸H和S来间接测出圆柱体直径D。设测量的尺寸H=10 mm，Δ H = 0.01mm ，δlim(H)=±3.5 μm，S=40 mm，Δ S = 0.02mm ，δlim(s)=±4 μm，求直径D的测量结果。

解：（1）由式（11.4），代入数据，计算直径D

（2）按式（11.22），代入数据，得系统误差ΔD

（3）按式（11.24）计算直径D的测量极限误差δlim(D)：

（4）按式（11.25）确定测量结果D′。

根据测量与计算结果可判断该圆柱体直径是否合格。