寻找一元函数极值的实例及优化

在数学上，可以通过确定函数导数为零的点来确定极值点；但是在解析上难以求导的情况下，需要从数值上寻找函数的极值点。MATLAB为用户提供了两个完整功能的函数fminbnd和fmins来实现对一维和n维函数的最小值的求解。

值得注意的是，MATLAB并未向用户提供求最大值的命令，因为函数f（x）的最大值就是函数-f（x）的最小值，故fminbnd函数可用来求最大值和最小值。

1.一元函数的极小值

fimbnd函数用于查找单变量函数在确定区间上的最小值，它的调用格式如下：

x＝fminbnd（fun，x1，x2）：返回一个值x，该值是fun中描述的标量值函数在区间x1＜x＜x2中的局部最小值。

x＝fminbnd（fun，x1，x2，options）：options为指定优化参数选项，由OPTIMSET设定，具体取值见表4.6。

表4.6　options参数的取值

［x，fval］＝fminbnd（…）：fval为目标函数的最小值。

［x，fval，exitflag］＝fminbnd（…）：返回描述退出条件的值exitflag。若参数exitflag＞0，表示函数收敛于x；若exitflag＝0，表示达到了最大迭代次数；若exitflag＜0，表示函数不收敛于x。

［x，fval，exitflag，output］＝fminbnd（…）：返回一个包含有关优化的信息的结构体output。若参数output＝iterations，表示迭代次数；若output＝funccount，表示函数赋值次数；若output＝algorithm，表示所使用的算法。

【例4.16】　求sin（x）在0＜x＜2π范围内的最小值的点。

在MATLAB的命令行窗口中输入以下命令，并得出结果。

2.多元函数的极小值(www.xing528.com)

MATLAB为用户提供了fminsearch函数用于计算多元函数的极小值，该函数适用于不太平滑、难以计算梯度信息或梯度信息价值不大的函数。

fminsearch函数和fminbnd函数的用法基本一致，两个不同之处在于：fminbnd函数的输入参数是寻找最小值的区间，且仅可以求解一元函数的极值；而fminsearch函数的输入参数为初始值。

fminsearch函数的调用格式如下：

x＝fminsearch（fun，x0）：在点x0处开始并尝试求函数fun中的局部最小值x。

x＝fminsearch（fun，x0，options）：使用结构体options中指定优化选项求最小值。

x＝fminsearch（problem）：求结构体problem的最小值。

［x，fval］＝fminsearch（…）：fval返回目标函数fun在解x处的值。

［x，fval，exitflag］＝fminsearch（…）：返回描述退出条件的值exitflag。

［x，fval，exitflag，output］＝fminsearch（…）：返回结构体output及优化过程的信息。

【例4.17】　求函数y（x）＝100（x2-x21）2+（1-x1）2的最小值。

由题意得，函数的最小值在（1，1）处取得，最小值为0。

在MATLAB的命令行窗口中输入以下命令，并得出结果。

从结果可知，函数的最小值在（1，1）点取得，极小值近似于0。