状态方程时域响应的仿真实例演示

【例2-10】状态空间模型典型输入响应仿真分析仪。

研究一个三阶二输入二输出系统对于单位脉冲、单位阶跃、单位恒速和单位恒加速信号输入时状态响应（轨迹）与输出响应。仿真仪程序如shixz02_10所示。程序框图面板及前面板图分别如图2-5-2和图2-5-3所示。

程序说明：

单位脉冲和单位阶跃响应分别使用命令impulse和step。单位恒速和单位恒加速响应使用lsim命令，直接定义恒速与恒加速输入信号。注意，所使用的impulse和step的命令中，返回了6组状态响应数据，分别对应3个状态分量对2个输入分量的响应；返回了4组输出响应数据，分别对应2个输出分量对2个输入分量的响应。使用叠加原理求出各状态和各输出对2个输入的响应（参见2.1.2节）。在lsim命令中直接返回各状态和各输出对2个输入

图2-5-2 程序shixz02_10框图面板

图2-5-3 程序shixz02_10前面板

的响应，不需要进行叠加。

程序运行时，先对状态模型赋值。前面板上给出了系统赋值参数实例。前面板上有两个示波器面板。No.1上的3条曲线对应3个状态轨迹x1，x2，x3；No.2上的2条曲线对应2个输出y₁和y₂。可以验证，输出与状态之间是满足输出方程的。

【例2-11】状态空间模型的零输入、零状态响应仿真分析仪。

以“组合”典型信号为例，讨论状态空间模型的零输入、零状态响应以及系统的完全响应。仿真仪程序如shixz02_11所示，前面板及程序框图面板分别如图2-5-4和图2-5-5所示。

图2-5-4 程序shixz02_11前面板

图2-5-5 程序shixz02_11框图面板

程序说明：

仿真对象是一个三阶二输入二输出系统，各系数矩阵由用户赋值。为了方便，前面板下方给出了参数赋值实例。2个输入均采用“组合”典型信号结构，但可以独立设计。作为示例，u₁=-1+0.1t+（1/2）（-0.02）t²，u₂=1-0.2t+（1/2）（-0.02）t²。

前面板上有3个示波器面板。No.1示出3条零输入响应的状态轨迹，仅当改变初态X₁₀、X₂₀、X₃₀时曲线变化。No.2示出3条零状态响应的状态轨迹，仅当改变输入时曲线变化。No.3示出输出响应曲线和输入曲线，当改变初态和输入时输出响应均发生变化，初态变化只改变输出响应的过渡过程，输入变化将改变输出响应的走势和终态值。“误差”数组分别表示输出响应与由输出方程计算的比较，结果显示它们是一致的。

【例2-12】状态方程解析解及其数字仿真分析仪。(www.xing528.com)

前已述及，对于比较简单的状态方程，通过符号运算可以获得其解析解的表达式。一个三阶二输入二输出状态方程解析解求取实例程序如shixz02_12所示，前面板及程序框图面板分别如图2-5-6和图2-5-7所示。

运行程序，选择图示参数，系统实际输入为

仿真曲线如图2-5-6所示。No.1、No.2和No.3三个示波器分别示出零输入响应状态轨迹（X_a）、零状态响应状态轨迹（X_b）和完全响应的输出（Y_ab）。在No.3示波器中除绘制出2条输出响应曲线外，还绘制了系统输入的两个分量u₁（t）和2u₁（t）。

解析解由位于图2-5-6底部的字符串显示框显示。使用MATLAB命令char将解析解转换成LabVIEW可以接受的字符串格式，再通过选择结构分别显示出零输入响应状态轨迹X_a（t）及其输出Y_a（t），零状态响应的状态轨迹X_b（t）及其输出Y_b（t），完全响应的状态轨迹X_ab（t）及其输出Y_ab（t）。

程序给出了由解析解代入时间值所得状态及输出序列，与直接由零输入响应命令initial和零状态响应命令lsim所得数值解之间的比较，结果示于图2-5-6右下角的比较数组中。比较误差较大的原因是仿真步长较大（0.1s），读者可以通过减小步长来减小两种方法的计算误差。

图2-5-6 程序shixz02_12前面板

图2-5-6中解析解表达式写成字符串数组格式，与一般的文本格式不同，读者可以根据需要取出进行编辑。

图2-5-7 程序shixz02_12框图面板

【例2-13】高阶系统的零输入、零状态响应仿真仪。

前面已经讨论过高阶系统输入输出的时域响应。当使用传递函数描述高阶系统时，将传递函数转换成状态空间模型，可以更细致地研究其响应特性，因为这样不仅可以研究输入输出的外部特性，还可以研究状态轨迹的演变过程。程序shixz02_13示出了一个5阶系统的动态特性。前面板和程序框图面板分别如图2-5-8和图2-5-9所示。

程序说明：

为了方便赋值，前面板上给出了仿真时所使用的传递函数分子、分母，初态，“组合”输入信号结构参数的示例数据。仿真时使用的输入信号为u（t）=1-0.1t+（1/2）×0.01t²。3个示波器面板分别示出系统零输入响应的状态轨迹、零状态响应的状态轨迹和输出响应。No.1和No.2上各有5条曲线，分别对应各个状态分量的零输入响应和零状态响应轨迹；No.3上有2条曲线，分别对应系统的输出响应和系统输入。前面板底部的状态空间模型示出了仿真时系统所转换成的系数矩阵。为了节省篇幅，5阶系统矩阵A仅仅示出了2行，读者可以使用数组索引按钮查看其余各元素。注意，数组索引号从0开始到n-1（n为系统阶数）。“比较”框表示用initial和lsim命令所计算的零输入、零状态输出响应叠加与由输出方程计算的输出数据的比较，显然二者是一致的。读者可以另赋它值进行仿真。

图2-5-8 程序shixz02_13前面板

图2-5-9 程序shixz02_13框图面板