控制系统稳定性裕度及仿真优化

时间：2023-07-02 理论教育版权反馈

【摘要】：控制系统相对稳定性仿真测量仪。控制系统相对稳定性仿真测量仪程序如shixz05_04所示，其程序前面板和框图面板分别如图5-2-1和图5-2-2所示。在连续运行条件下，不断改变系统参数，例如逐渐增大系统分子常数项b0的数值，可见系统的稳定性储备不断减小，相位裕度和幅值裕度不断减小并变负，闭环系统由稳定变成不稳定。作为示例，图5-2-6～图5-2-8示出了γ≈0°时对应的稳定性裕度数值及伯德图。

控制系统稳定性裕度及仿真优化

由奈奎斯特稳定性判据，对于一个开环稳定（即[S]右半平面开环极点数P=0），闭环也稳定的系统，其开环奈奎斯特轨迹距离（-1，j0）点的远近反映了闭环系统稳定程度的高低，这种高低程度称为系统的相对稳定性，也叫稳定性裕度。定量描述稳定性裕度的指标是幅值（增益）裕度和相位裕度。

1.幅值裕度K_g

设频率ω=ω_g时，开环奈奎斯特轨迹穿越负实轴，对应在伯德图上穿越-180 ^o线，ω_g称为相位穿越频率。定义相位穿越频率点的开环幅频特性的倒数为幅值裕度K_g，即

用dB表示为

20lg K_g=-20lg∣G（jω_g）H（jω_g）∣ （5-2-2）

由于幅值∣G（jω_g）H（jω_g）∣表示开环奈奎斯特轨迹与负实轴交点到原点的距离，对于稳定系统，由于不包含（-1，j0）点，必有∣G（jω_g）H（jω_g）∣=1/K_g＜1，即必有K_g（dB）＞0，具有正幅值裕度；反之，对于不稳定系统有1/K_g＞1，必有K_g（dB）＜0，具有负幅值裕度。在伯德图上正幅值裕度处于0dB线以下，负幅值裕度处于0dB线以上。

2.相位裕度γ

设频率ω=ω_c时，开环奈奎斯特轨迹与单位圆相交，对应在伯德图上穿越0dB线，ω_c称为幅值穿越频率。定义相位裕度γ为幅值穿越频率点的开环相频特性与-180°线的相位差

γ=180°+φ（ω_c）（5-2-3）

在奈奎斯特图上，γ表示在频率ω_c时奈奎斯特轨迹与负实轴的相位差值。对于稳定系统，γ处于奈奎斯特图的负实轴以下，处于伯德图-180°线之上，称为正相位裕度，γ＞0；反之，对于不稳定系统，γ＜0，具有负相位裕度。γ处于奈奎斯特图的负实轴以上，处于伯德图-180°线之下。

对于开环稳定系统，正幅值裕度K_g（dB）和正相位裕度γ的数值，共同决定其对应闭环系统稳定程度的高低，或者稳定裕量的大小。工程上通常要求γ=30^o～60^o，K_g（dB）＞6dB，即K_g＞2。

【例5-4】控制系统相对稳定性仿真测量仪。

控制系统相对稳定性仿真测量仪程序如shixz05_04所示，其程序前面板和框图面板分别如图5-2-1和图5-2-2所示。

图5-2-1 程序shixz05_04前面板

图5-2-2 程序shixz05_04框图面板

参见前面板图5-2-1。该仿真测量仪除了提供相对稳定性数值外，还使用奈奎斯特和伯德图测量、计算并仿真系统的幅值裕度和相位裕度。

赋值部分。用户在“频率范围”框内设定频率上下限的常用对数x₁、x₂；在“频率点N”框内设置频率特性计算点（正整数），通过“开环系统设定”栏构成不高于五阶的开环传递函数。

实例开环系统为Ⅰ型

(www.xing528.com)

运行程序，仿真仪自动计算并在“稳定性裕度”栏内显示幅值裕度K_g（dB）、相位裕度γ（°）、相位穿越频率ω_g和幅值穿越频率ω_c（rad/s）。显然，系统式（5-2-4）所对应的闭环系统是稳定的，而且具有足够的幅值裕度（K_g=11.98dB）和相位裕度（γ=58.11°）。

两个示波器面板分别绘制开环系统的奈奎斯特与伯德图。其中的奈奎斯特轨迹仅绘出正频率段接近单位圆的一部分，目的是为了更清楚地显示奈奎斯特轨迹距离（-1，j0）点的远近，以便在奈奎斯特图上表示系统的相对稳定性。图中，奈奎斯特轨迹先与单位圆相交，再与负实轴相交，具有正幅值裕度和正相位裕度。

相位裕度γ为图中负实轴与射线之间的夹角。绘制射线使用语句

语句中的w0是绘制奈奎斯特轨迹所使用的频率序列。语句使用相位裕度的正切作为斜率绘制射线。由于正切符号与象限之间的关系，该语句仅绘制第二、三象限内的射线，也就是绘制相位裕度γ∈[-90°，90°]范围的射线。这符合工程上相位裕度不大于90°的要求。如果γ＞90°，该射线将如图5-2-3所示，不能通过奈奎斯特轨迹与单位圆在第四象限的交点。

作为对比，伯德图上用两个测量坐标系示出幅值穿越频率ω_c和相位穿越频率ω_g。由于该伯德图的横坐标是按对数均匀分度的，其实际频率按照式（3-4-1）计算。对于图5-2-1的参数设置，式中x₁=-2，x₂=2，N=10000，ω_c和ω_g的频率点测量值x=4156及x=5144，可得实际频率ω_c=0.4596 rad/s，ω_g=1.1418 rad/s，与计算值一致。

图5-2-1同时还给出了开环、闭环极点数值，幅频、实频与虚频的符号表达式。图5-2-3～图5-2-5分别给出了γ＞90°、γ≈0°、γ＜90°时的图示。读者还可以利用这些表达式，通过求解相关方程来计算系统相对稳定性的各项指标，此处不再赘述。

在连续运行条件下，不断改变系统参数，例如逐渐增大系统分子常数项b₀的数值，可见系统的稳定性储备不断减小，相位裕度和幅值裕度不断减小并变负，闭环系统由稳定变成不稳定。作为示例，图5-2-6～图5-2-8示出了γ≈0°时（此时常数项b₀=5.2917）对应的稳定性裕度数值及伯德图。由图可见，这时ω_c与ω_g重合，奈奎斯特轨迹穿越单位圆和负实轴的交点。