梁弯曲时的正应力和强度条件

1.纯弯曲与横力弯曲

梁弯曲时，横截面上一般产生两种内力——剪力和弯矩，这种弯曲称为横力弯曲。横力弯曲时，梁横截面上既有切应力又有正应力。如果在梁的某段或整个梁横截面上弯矩等于常量而剪力等于零，这种弯曲称为纯弯曲。纯弯曲时，梁横截面上只有正应力而没有切应力。外伸梁如图2-4-15（a）所示，该梁的剪力图、弯矩图如图2-4-15（b）、（c）所示，在其AC、DB段内各横截面上既有弯矩M又有剪力FQ，即横力弯曲。在其CD段内各横截面上，弯矩M＝常量而剪力FQ＝0，即为纯弯曲变形。实验表明，当梁比较细长时，正应力是决定梁是否破坏的主要因素，切应力是次要因素。因此，切应力的影响可以忽略。为研究方便，先针对纯弯曲梁分析横截面上正应力的分布规律，再将所得结论推广到横力弯曲梁。

图2-4-15　纯弯曲

2.纯弯曲正应力公式

1）实验观察和平面假设

如图2-4-16所示，取一矩形截面等直梁，实验前在其表面画两条横向线m—m、n—n，两条纵向线a—a、b—b，然后在其两端作用外力偶M，梁将发生纯弯曲变形。观察其变形，可看到如下的现象[图2-4-16（b）]：

（1）横向线m—m、n—n仍保持为直线且与纵向线正交，并相对转动了一个微小角度。

（2）纵向线弯成了曲线，靠近内凹一侧的纵向线a—a缩短，靠近外凸一侧的纵向线b—b伸长。

由于梁内部材料的变化无法观察，因此假定梁横截面在变形过程中始终保持为平面。这就是梁纯弯曲时的平面假设。可以设想梁由无数条纵向纤维组成，且纵向纤维间无相互挤压作用，仅处于单向受拉或受压状态。由此可推断，梁发生纯弯曲变形时，横截面上只有正应力。

图2-4-16　弯曲梁的中性轴

2）中性层与中性轴

由上述分析可知：梁纯弯曲时，从外凸一侧纤维伸长连续变化到内凹一侧纤维缩短，其间必有一层纤维既不伸长也不缩短，这一纵向纤维层称为中性层[见图2-4-16（c）]。中性层与横截面的交线称为中性轴，中性轴过截面的形心。梁弯曲时，各横截面绕中性轴转动了一个角度。

3）梁纯弯曲时横截面上正应力的分布规律

为了求得正应力在截面上的分布规律，在梁的横截面建立坐标系xyz，以梁的轴线为x轴，梁横截面的对称轴为y轴，中性轴为z轴[见图2-4-17（a）]。

图2-4-17　弯曲梁的应力分布

从图2-4-17（a）可以看出，截面上距中性轴越远的点，所受的应力越大，纵向纤维的伸长（或缩短）量越大，说明该点的线应变越大。由拉（压）胡克定律可知，在材料的弹性范围内，正应力与正应变成正比，从而得出横截面上任一点的正应力与该点到中性轴的距离y成正比，正应力与横截面垂直，其线性分布规律如图2-4-17（b）所示。

应用变形几何关系和静力学平衡关系进一步可推知：横截面上任一点的正应力与该截面弯矩M成正比，与该点到中性轴的距离y成正比，而与截面对中性轴z的惯性矩Iz成反比，其纯弯曲正应力公式为

式中　σy——横截面上距中性轴距离为y的任一点处正应力；

　　　M——横截面上的弯矩；

　　　Iz——截面对中性轴z的惯性矩。

由式（2-4-1）可见，截面的最大正应力σmax发生在离中性轴距离最远的上、下边缘的点上，即

令

梁截面的最大应力为

式中　Wz——截面的抗弯截面系数。

式（2-4-1）～式（2-4-4）虽然是在梁纯弯曲时导出的，但对于横力弯曲的梁，只要其跨度与截面高度之比大于5，仍可用上述公式计算弯曲正应力。

3.梁常用截面的几何性质

梁常用截面的惯性矩Iz和抗弯截面系数Wz的计算公式见表2-4-1。

表2-4-1　梁常用截面的惯性矩Iz和抗弯截面系数Wz的计算公式

续表

例2-4-6　矩形截面悬臂梁如图2-4-18所示，F＝1kN，试计算1—1截面上A、B、C各点的应力以及该梁的最大正应力。

图2-4-18　例2-4-6图

解：（1）求支座反力。

（2）画弯矩图，如图2-4-18（b）所示。

（3）计算截面惯性矩和抗弯截面系数。

（4）求1—1截面上各点的应力　先计算1—1截面上的弯矩，即

M1—1为负值，说明该截面上的弯矩使梁产生上凸下凹变形，截面中性轴以上各点的应力为拉应力，以下各点的应力为压应力。

（5）求梁的最大正应力。梁的最大正应力应在梁的最大弯矩所在的截面，由弯矩图可知

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故

其中，梁截面的上边缘各点承受最大拉应力，截面的下边缘各点承受最大压应力。

4.梁弯曲的强度计算

1）梁弯曲时的正应力强度条件

由式（2-4-4）可知，梁弯曲时横截面上的最大正应力σmax发生在截面的上、下边缘处。对于等截面梁来说，σmax一定发生在最大弯矩Mmax所在截面的上、下边缘处，这个Mmax所在的截面称为危险截面，其上、下边缘处的各点称为危险点。要使梁能够正常工作，必须使梁危险截面上危险点处的最大工作应力不超过材料的许用应力。因此，等截面梁的正应力强度条件为

式中　[σ]——材料的许用应力。

对于变截面梁，最大弯矩所在的截面不一定是危险截面，比值M/Wz最大的截面才是危险截面。因此，变截面梁的正应力强度条件为

式（2-4-5）、式（2-4-6）适用于抗拉和抗压性能相同的材料。

工程实际中，为了充分发挥梁的抗弯能力，对于抗拉和抗压性能相同的塑性材料，即[σ＋]＝[σ-]，一般宜采用上、下对称于中性轴的截面形状，直接用式（2-4-5）、式（2-4-6）进行强度计算；而对抗拉与抗压性能不相同的脆性材料，即[σ＋]＜[σ-]，一般宜采用上、下不对称于中性轴的截面形状，其强度条件分别为

式中　y＋——受拉一侧的截面边缘到中性轴的距离；

　　　y-——受压一侧的截面边缘到中性轴的距离。

由于[σ＋]＜[σ-]，所以应尽量使y＋＜y-。

2.梁弯曲时正应力强度计算

应用梁的正应力强度条件，可以解决梁强度计算的3类问题，即校核强度、设计截面和确定许可载荷。

例2-4-7　若例2-4-6中梁材料的许用应力[σ]＝200MPa，试校核梁的强度；如果梁改为水平放置，梁的强度是否满足要求？

解：由例2-4-6可知

故梁满足强度条件。

如果梁水平放置，则抗弯截面系数为

则有

图2-4-19　例2-4-8图

故梁不满足强度条件。（从本例中可得到什么启示？请读者思考。）

例2-4-8　简支梁如图2-4-19（a）所示，由工字钢制成，已知l＝6m，F1＝12kN，F2＝21kN，梁材料的许用应力[σ]＝160MPa，试选择工字钢的型号。

解：（1）求支座反力

（2）画弯矩图，如图2-4-19（b）所示。由弯矩图可知

（3）选择截面。根据正应力强度条件有

查本书后的附录，选20a号工字钢。其Wz＝237cm3，大于按强度条件算得的Wz值，满足强度要求。如选用的工字钢的Wz值略小于按强度条件算得的Wz值时，则应再校核一下强度，若超出的[σ]值在5%以内时，工程上是允许的。

例2-4-9　如图2-4-20所示T形截面铸铁梁，已知F1＝9kN，F2＝4kN，a＝1m，许用拉应力[σ＋]＝30MPa，许用压应力[σ-]＝60MPa，T形截面尺寸如图2-4-20（b）所示。已知截面对中性轴的惯性矩Iz＝763cm4，且y1＝52mm。试校核梁的强度。

解：（1）求支座反力

（2）画弯矩图。如图2-4-20（c）所示，最大正值弯矩在C截面，MC＝2.5kN·m，最大负值弯矩在B截面，MB＝-4kN·m。

（3）校核梁的强度

C截面上的最大拉应力发生在截面的下边缘各点处，最大压应力发生在截面的上边缘各点处，分别为

B截面上的最大拉应力发生在截面的上边缘各点处，最大压应力发生在截面的下边缘各点处，分别为

图2-4-20　T形截面铸铁梁

通过计算可知，梁内最大拉应力发生在C截面下边缘各点处，最大压应力发生在B截面下边缘各点处。

故梁满足强度条件。