质点动力学的两个问题类型

1.已知运动求作用力

若已知质点的运动方程、速度和加速度方程，可以求解质点上的作用力。步骤和静力学相似，一般分成3步：

（1）确定研究对象。根据题意，取重物为研究对象。

（2）画出研究对象的受力图。在受力图中，应该画出加速度的方向[见图4-1-5（b）、（c）、（d）]。

（3）列出质点运动微分方程，并对其求解。

例4-1-1　桥式起重机起吊重物如图4-1-5（a）所示。已知重物的重量为G＝980N。试求在下列三种情况下吊索的拉力：（1）重物由静止以a＝1m/s2的匀加速启动时；（2）重物匀速上升时；（3）重物以a＝1m/s2的匀减速制动时。

解：（1）如图4-1-5（b）所示，此时为加速，a的方向向上。由质点运动微分方程得

因为重物做匀加速直线运动，故

即

图4-1-5　例4-1-1图

（2）如图4-1-5（c）所示，此时为匀速，a＝0。由质点运动微分方程得

因为重物做匀速直线运动，＝a＝0，即

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（3）如图4-1-5（d）所示，此时为减速，a的方向向下。由质点运动微分方程得

因为重物做匀减速直线运动，＝-a，即

由计算结果看出：重物具有加速度时，吊索受的载荷比匀速时将增大或者减小，这时吊索的载荷可看做由两部分组成：一部分是物体的重量G所产生的载荷，称为静载荷，另一部分是由于有加速度而产生的载荷，大小为ma，称为动载荷。

2.已知作用力，求物体的运动

已知作用于质点上的力，将质点的微分方程积分，由初始条件确定微分常数，求出质点的运动状况。

例4-1-2　研磨细矿石所用的球磨机可简化为图4-1-6所示。当圆筒绕水平纵轴转动时，开始和筒壁脱离而沿抛物线下落，借以打击矿石。打击力与α角有关，且已知α＝50°40′时，可以得到最大的打击力。设圆筒内径d＝3.2m，问圆筒转动的转速n应为多大？

解：（1）确定研究对象：钢球M。

2）受力分析：重力FG、法向反力FN、摩擦力F，如图4-1-6（b）所示。

3）运动分析：钢球M在脱离筒壁之前作匀速圆周运动，其加速度即法向加速度。

图4-1-6　例4-1-2图

4）列微分方程，求未知物理量，即

钢球M脱离筒壁条件是FN＝0，将其代入得