货币时间价值计算方法解析

（一）单利的计算

单利方式计算利息的原则是本金按年数计算利息，而以前年度本金产生的利息不再计算利息。因而在单利计算方式下，资金现值与终值的计算比较简单。如果假设下列符号：

P——本金，又称现值（Present Value）；

I——利息；

n——计息期数；

i——利率；

F——终值，又称未来值（Future Value）。

1.单利利息的计算。利息的计算公式为：

I=P×i×n

〔例3-1〕某人存入银行1 000元，若银行存款利率为5%，半年后的利息是多少？（若采用单利计息）

I=1 000×5%×（6/12）=25（元）

在计算利息时，除非特别指明，给出的利率是指年利率。对于不足一年的利息，要按年来折算。

2.单利终值的计算。终值又称未来值，是现在一定量现金在未来某一时点上的价值。单利的终值计算公式为：

F=P+P×i×n=P×(1+ni)

〔例3-2〕带息期票面值1 000元，票面利率为5%，若持有至到期，出票人应付的终值为多少？

F=1 000+1 000×5%×1=1 050（元）

3.单利现值的计算。现值又称现在值，是指未来某一时点上的一定量现金折合到现在的价值，也称本金。单利现值的计算同单利终值的计算是互逆的，由终值计算现值，称为折现。将终值计算公式变形，即得到单利现值计算公式：

P=F/(1+ni)

（二）复利的计算

复利是计算利息的另一种方法。按照这种方法，利息在下期则转为本金，与原来的本金一起计息，即俗称“利滚利”。需要特别说明的是，今后在财务管理学习过程中所有的利息计算方法均指复利。

1.复利终值。复利终值是指一定量的本金复利计算若干期后的价值，如图3-1所示。

图3-1　复利终值

假如，某人将10 000元投资于一项事业，年报酬率为6%，经过一年时间的终值为：

F=P（1+i）=10 000×（1+6%）=10 600（元）

若此人并不提走现金，将10 600元继续投资于该事业，则第二年终值为：

F=［P（1+i）］（1+i）=P（1+i）2=10 000×（1+6%）2=11 236（元）

同理，第三年的终值为：

F=P（1+i）3=10 000×（1+6%）3=11 910（元）

第n年的终值为：

F=P(1+i)n

式中：（1+i）n表示1元本金，利率为i，n 期末的复利终值，称为复利终值系数，用符号（F/P，i，n）表示。

例如，（F/P，6%，3）表示利率为6%，3期复利终值的系数。可查“1元复利终值系数表”求得为1.191元。

2.复利现值。复利现值是复利终值的逆运算，是指未来一定时间内特定资金按复利计算的现在价值，或者说是为取得将来一定终值现在所需要的本金，如图3-2所示。

图3-2　复利现值

复利现值的计算公式为：

P=F/(1+i)n=F×(1+i)-n

式中：（1+i）-n称为复利现值系数，记作（P/F，i，n），可通过查“1元复利现值系数表”求得，即

P=F×(P/F，i，n)

〔例3-3〕某人拟在5年后获得终值10 000元，假设投资报酬率为10%，他现在应投入多少元？

P=F×(P/F，i，n)=10 000×(P/F，10%，5)

=10 000×0.620 9=6 209（元）

（三）年金的计算

在现实经济生活中，除了上面介绍的一次性收付款项外，还存在一定时期内多次收付相等金额的款项的情形。如支付保险费、年折旧、支付退休金以及零存整取和分期付款等等，这些都是年金的问题。所谓年金，是指一定时期内每次等额等时间间隔收付的系列款项，通常记作A。年金的形式多种多样，按收付款方式不同，可分为普通年金、即付年金、递延年金和永续年金等几种。

1.普通年金。普通年金也称后付年金，是指各期期末收付的年金，如图3-3所示。

图3-3　普通年金

（1）普通年金终值计算。普通年金终值是指一定时期内每期期末等额收付系列款项的复利终值之和。如每期末零存整取的终值。其计算方法如图3-4所示。

图3-4　普通年金终值

由上图可知，年金终值的计算公式为：

F=A(1+i)0+A(1+i)1+A(1+i)2+…+A(1+i)n-2+A(1+i)n-1

计算可得：

式中：，通常称作“年金终值系数”，记作（F/A，i，n），可通过查“1元年金终值系数表”求得，即

F=A×(F/A，i，n)

〔例3-4〕某人5年内每年末向银行存入10 000元，存款利率为10%，问5年后的终值是多少？

F=10 000×（F/A，10%，5）=10 000×6.105 1 =61 051（元）

（2）偿债基金。偿债基金是指为使年金终值达到既定金额每年应支付的年金数额。

根据年金终值计算公式：

F=A×(F/A，i，n)

可知：

A=F/(F/A，i，n)=F×［1/(F/A，i，n)］

式中：1/（F/A，i，n）是年金终值系数的倒数，称作偿债基金系数，记作（A/F，i，n）。

〔例3-5〕某人拟在5年后还清10 000元的债务，从现在起每年存入银行一笔款项。假设银行利率为10%，他每年需存入多少资金？

A=10 000×［1/（F/A，10%，5）］=10 000×1/6.105 1≈1 638（元）

（3）普通年金现值计算。普通年金现值是指一定时期内每期期末等额系列收付款项的复利现值之和。其计算办法如图3-5所示。

图3-5　普通年金现值

由上图可知，年金现值计算公式为：

P=A(1+i)-1+A(1+i)-2+…+A(1+i)-(n-1)+A(1+i)-n

计算可得：

式中：，称作“年金现值系数”，记作（P/A，i，n），可通过查“1元年金现值系数表”求得，即

P=A×(P/A，i，n)

〔例3-6〕某人出国3年，请你代付房租，每年租金1 000元，设银行利率为10%，他现在应当给你在银行存入多少资金？

P=A×(P/A，i，n)=1 000×(P/A，10%，3)

=1 000×2.486 9 ≈2 487（元）

（4）资本回收额。资本回收额是指在给定的年限内每年等额回收初始投入的资本。资本回收额是年金现值的逆运算。其计算公式为：

A=P/(P/A，i，n)=P×［1/(P/A，i，n)］

式中：1/（P/A，i，n）称作资本回收系数，记作（A/P，i，n），可通过年金现值系数的倒数求得。

〔例3-7〕某企业现在借得1 000万的贷款，年利率12%，10年内等额偿还，每年应付的金额是多少？

A=P/(P/A，i，n)=1 000×1/(P/A，12%，10)

=1 000×1/5.650 2≈177（万元）

2.即付年金。即付年金又称先付年金，是指各期期初收付的年金。即付年金与普通年金的区别仅在于收付款项的时点不同。

（1）即付年金终值计算。即付年金终值是指一定时期内每期期初等额收付系列款项的复利终值之和。即付年金终值支付形式如图3-6所示。

图3-6　即付年金终值

即付年金终值的计算公式为：

F=A(1+i)1+A(1+i)2+…+A(1+i)n-1+A(1+i)n

计算可得：

(www.xing528.com)

式中：是预付年金终值系数，或称1元的预付年金终值。它和普通年金终值系数相比，期数加1，而系数减1，可记作［（F/A，i，n+1）-1］，可利用“普通年金终值系数表”查得（n+1）期的值，然后系数减1，得出1元预付年金终值。即

F=A×［(F/A，i，n+1)-1］

〔例3-8〕某人连续5年于每年年初存入10 000元，银行存款利率为3%，则在第5年末能一次性取出多少资金？

F=A×［(F/A，i，n+1)-1］ =10 000×［(F/A，3%，6)-1］

=10 000×［6.468 4-1］ =54 684（元）

（2）即付年金现值计算。即付年金现值是指一定时期内每期期初等额收付系列款项的复利现值之和，如图3-7所示。

图3-7　即付年金现值

即付年金现值的计算公式为：

P=A(1+i)0+A(1+i)-1+A(1+i)-2+…+A(1+i)-(n-1)

计算可得：

式中：是预付年金现值系数。它和普通年金现值系数相比，期数减1，而系数加1，可记作［（P/A，i，n-1）+1］。可利用“普通年金现值系数表”查得（n-1）期的值，然后系数加1，得出1元的预付年金现值。

〔例3-9〕某人分6年期付款购买住房，每年年初付20 000元，若银行利率为10%，该项住房现在的价格是多少？

P=A×［(P/A，i，n-1)+1］ =20 000×［(P/A，10%，5)+1］

=20 000×［3.790 8+1］ =95 816（元）

3.递延年金。递延年金是指第一次收付款项的发生时间不在第一期末，而是隔若干期后才开始发生等额系列收付的款项。它是普通年金的特殊形式，凡不是从第一期开始的普通年金都是递延年金。

递延年金的收付形式如图3-8所示。

图3-8　递延年金

从上图可以看出，前m期没有发生收付，第一次支付在m+1期期末，连续收付n 次。递延年金的终值大小，与递延期无关，故计算方法和普通年金终值相同。

〔例3-10〕某人3年后连续4年于年末存入10 000元，银行存款利率为10%，问7年后终值是多少？

根据题意，可知：m=3，n=4。

F=A×(F/A，i，n)=10 000×(F/A，10%，4)

=10 000×4.641 0 =46 410（元）

递延年金的现值是自若干时期后开始每期款项的现值之和。

递延年金现值的计算方法有三种：

第一种方法：把递延年金视为n 期普通年金，求出在m期普通年金现值，然后再将此现值调整到第一期期初。即：

P=A×(P/A，i，n)×(P/F，i，m)

第二种方法：假设递延期中也进行支付，先求出（m+n）期的年金现值，然后扣除实际并未支付的递延期（m）的年金现值。即：

P=A×［(P/A，i，m+n)-(P/A，i，m)］

第三种方法：先求递延年金终值，再折现为现值。即

P=A×［(F/A，i，n)×(P/F，i，m+n)］

〔例3-11〕某人拟在年初存入一笔款项，以便在5年后连续4年每年取出10 000元。在银行利率为5%的情况下，此人应在最初一次存入银行多少资金？

方法一：P=A×（P/A，i，n）×（P/F，i，m）

=10 000×(P/A，5%，4)×(P/F，5%，5)

=10 000×3.546 0×0.783 5=27 783（元）

方法二：P=A×［（P/A，5%，9）-（P/A，5%，5）］

=10 000×（7.107 8-4.329 5）=27 783（元）

方法三：P=A×（F/A，i，n）×（P/F，i，m+n）

=10 000×(F/A，5%，4)×(P/F，5%，9)

=10 000×4.310 1×0.644 6=27 783（元）

4.永续年金。永续年金是指无期限等额收付的特种年金，可视为普通年金的特殊形式，即期限趋于无穷大的普通年金。例如，在存入了一笔基金作为科学奖发放的问题上，就看成是永续年金。由于永续年金持续期无限长，没有终止的时间，因此没有终值，只有现值，如图3-9所示。

图3-9　永续年金

通过普通年金现值计算可推导出永续年金现值的计算公式为：

〔例3-12〕拟建立一项永久性的奖学金，每年计划颁发10 000元奖金，若利率为10%，现在应存入多少资金？

P=10 000×（1÷10%）=100 000（元）

（四）折现率、期数和利率的推算

1.折现率的推算。前面我们已经介绍了在已知A，i，n 时，如何求年金现值或终值；反过来，若已知P或F，A，n，是否可求出折现率i呢？答案是肯定的。

例如，P=A×（P/A，i，n），若已知P=20 000，A=4 000，n=9，求i。

则（P/A，i，9）=20 000÷4 000=5

查“普通年金现值系数表”，发现n=9时，无法找到恰好为5的系数值，用内插法（有时也称插值法）。即

所以x=13.59%

上例也可以直接用公式来求得结果。式中，所求利率为i，i对应的终值（或者现值）系数为B，B1、B2为终值（或现值）系数表中B相邻的系数，i1、i2为B1、B2对应的利率。

对于一次性收付款项和即付年金利率的推算，都可采用上述内插法求解。

2.期数的推算。期数n 的推算，其原理与步骤同折现率i的推算是一致的。即已知P或F，A和i，求期数n。

〔例3-13〕某企业拟购买一台设备，更新目前的设备。该设备价格较其他设备高出2 000元，但每年可节约维护费用500元。若利率为10%，则设备应至少使用多少年对企业而言才有利？

依题意，已知P=2 000，A=500，i=10%，则：

P=A×(P/A，i，n)

2 000=500×(P/A，10%，n)

所以　　（P/A，10%，n）=2 000÷500=4

查普通年金现值系数表，在i=10%的列上纵向查找，无法找到恰好为4的系数值，所以，用内插法求解。即：

所以x=5.37（年）

3.名义利率与实际利率的换算。上面讨论的有关计算均假定利率为年利率，每年复利一次。但实际上，复利的计息不一定是一年，有可能是季度、月份或日。例如，债券每半年计息一次。当每年复利次数超过一次时，这样的年利率叫名义利率，而每年复利一次的利率才是实际利率。

〔例3-14〕某企业在年初用1 000万元投资于一个5年的项目，假设年利率8%，每季复利一次，则

每季利率=8%÷4=2%　　复利次数=5×4=20

F=P×(F/P，i，n)=1 000×(F/P，2%，20)

=1 000×1.485 9=1 485.9（万元）

I=1 485.9-1 000=485.9（万元）

当一年内复利多次时，实际得到的利息要比按名义利率计算的利息高。如上例的实际利率高于8%，可用下述方法计算。

F=P×(1+i)n

1 485.9=1 000×(1+i)5

(1+i)5=1.485 9

(F/P，i，5)=1.485 9

查表得：

所以x=8.24%

实际利率与名义利率之间的关系是：

式中：i——实际利率；

r——名义利率；

m——每年的计息次数。

若r=12%（名义利率），每年计息期不同，则可得出各年的实际利率。计息期分别为一年、半年、季度、月，则每年的实际利率为：

上述关于货币时间价值计算的方法，在财务管理中有广泛用途。如项目投资决策、租赁决策、债券估价、股票估价等。随着财务问题日益复杂化，货币时间价值观念的应用也将日益增多。