总体方差检验方法优化

总体方差是衡量事物发展过程均衡度测量的重要指标。一个方差很大的产品即意味着其质量或性能不稳定。因此，总体方差σ2的检验也是假设检验中的重要内容之一。

与总体均值和总体比例检验所通常使用的抽样分布（正态分布或t分布）不同，一个总体方差的检验所利用的是χ2分布。此外，总体方差的检验，不论样本容量n的大小，都要求总体服从正态分布，这是由检验统计量的抽样分布决定的。

双侧检验

左侧检验

右侧检验

检验统计量为

对于给定的显著性水平α，双侧检验的拒绝域如图6.15所示。对于单侧检验要，拒绝域在分布一侧的尾部。

图6.15　显著性水平为α时双侧检验的临界值和拒绝域

表6.8总结了一个总体方差检验的一般方法。

表6.8　一个总体方差的检验方法

下面通过一个例子说明总体方差的假设检验的一般程序。

【例6.9】　啤酒生产企业采用自动生产线灌装啤酒，每瓶的装填量为640mL，但由于受某些不可控因素的影响，每瓶的装填量会有差异。此时，不仅每瓶的平均装填量很重要，装填量的方差同样很重要。如果方差很大，会出现装填量太多或太少的情况，这样要么生产企业不划算，要么消费者不满意。假定生产标准规定每瓶装填量的标准差不应超过和不应低于4mL。企业质检部门抽取了10瓶啤酒进行检验，得到的样本标准差为s＝3.8mL。试以0.10的显著性水平检验装填量的标准差是否符合要求？

解　依题意提出以下假设

H0：σ2＝42；H1：σ2≠42

根据式（6.6）计算的检验统计量为

根据显著性水平α＝0.10和自由度（10－1）＝9查χ2分布表，得

若需要计算p值，可使用Excel统计函数中的“CHIDIST”函数。

上面检验的统计量和拒绝域如图6.16所示。

实际应用中，右侧检验是最为常见的总体方差检验形式。因为一般来说，在涉及时间、含量、尺寸等测度的场合，人们总是希望其变化的幅度很小，也就是有较小的方差，大的方差往往不被接受。针对这种情况，通常将总体“总体方差大于某一最大允许值”作为备择假设，其对立面作为原假设，再利用右侧检验的检验程序作出决策。当然，与总体均值和总体比例检验一样，也可进行其他形式的总体方差检验。

图6.16　例6.9的检验统计量、临界值和拒绝域

以上介绍了一个总体参数假设检验的问题，并详细总结了总体均值、总体比例以及总体方差检验的过程和拒绝域的图示，目的是帮助读者系统地掌握假设检验的一般方法和程序。至于两个总体参数的假设检验问题，感兴趣的读者可参阅其他教科书。

【学习指导与小结】

假设检验是推断统计的另一项重要内容，它是利用样本信息判断假设是否成立的一种统计方法。本章首先介绍有关假设检验的一些基本问题，然后介绍一个总体参数的检验方法。本章各节的主要内容和学习要点见表6.9。

表6.9　本章各节的主要内容和学习要点

续表

注：“加粗”部分为重点学习要点，应当重点学习并掌握。

【常用术语】

假设检验　　原假设　　备择假设　　拒绝域　　检验统计量　　显著性水平　左单侧检验　　右单侧检验　　双侧检验　　第Ⅰ类错误　　第Ⅱ类错误　　假设检验中的p值

【案例讨论】

菲多利公司瞄准西班牙市场^[4]

菲多利公司1932年成立于得州的圣安东尼奥，创始人为埃尔默·杜林H.W.。菲多利公司在1938年成立于佐治亚的亚特兰大，创始人是豪尔曼·W·利。1961年这两家公司合并为菲多利股份有限公司，其总部在得州。菲多利公司是家生产、销售小吃食品的公司，尤其关注各种油煎土豆片情况。1965年，该公司与百事可乐合并成立了百事股份有限公司、30年之后，百事可乐兼并了他国内国外的小吃食品加工业，成立了菲多利公司。根据信息资源股份有限公司发布的数据，菲多利品牌的食品占据了油煎土豆片小吃市场份额的60％以上。

菲多利公司面临的一个问题是：在西班牙市场不具备很强的竞争力，而这块市场的发展潜力越来越大。为更好地渗入这个市场，菲多利公司雇用了各种市场研究员，想弄清为什么西班牙人没有如公司领导希望的那样经常购买他们的产品，他们也想知道该如何处理这个问题。

驾驶大型娱乐车在西班牙走街串巷，目标确定西班牙妇女们（家庭食品多数由她们进行购买），研究员对各种品牌进行了调查，发现了几个现象。西班牙人认为菲多利公司的产品口味太淡，不够刺激。西班牙人也没注意到有关菲多利公司的广告。另外，她们倾向于买小包装的食品，而不是家庭号的大包装食品。同时，她们更多的是在当地小食品店而不是在大超市购买食品。

实地调查后，目标锁定十几岁的小男孩和年轻的成年男士——这是一个喜欢吃各种小吃食品的群体。研究员认为虽然多数十几岁的孩子在学校里讲英语，但回到家里和家里人就说西班牙语。由这可以得出结论：需要向西班牙人做西班牙语广告。另外，发现在一些广告中采用西班牙白摇滚音乐，这在西班牙年轻人的文化中渐成气候，将很有效果。研究人员也发现使用菲多利公司在西班牙的姊妹公司的标志图“快乐的脸”是很有广告效果的。因为它使63％的身在美国的西班牙人想起家乡食品，这个标志图增加了产品的亲近感。

这次调查后，1997年，菲多利公司将它的第一类西班牙式产品投放于圣安东尼奥市场。从那以后，在西班牙地区Doritos品牌的销量提高了32％，Doritos Salsa Verde的销量已占整个销量的15％。至此，菲多利公司将它的产品扩展到了美国的其他地区，拥有了大量的西班牙消费者。

【讨论】

在对菲多利公司的研究过程中，出现了许多不同的有关数字的问题，有关菲多利公司产品的、广告技巧的和西班牙人的购买方式的。其中每个领域，统计学，尤其是假设检验，都起了关键性的作用。利用这个案例所给的信息及统计假设检验的有关概念，对下列问题进行讨论：

①在为这个计划进行的市场研究过程中，我们由目标人群和市场调研可以得到许多比率值，包括市场中的西班牙人的比率、西班牙人食品顾客中妇女的比率及十几岁孩子占小吃食品购买者中的比率等。利用本章所讲的方法分析下面问题，并讨论这些结果会怎样影响销售决策者对西班牙人市场的决策。

a.由本案可知，有63％的美籍西班牙人是美籍墨西哥人。我们怎样验证这个比率？假定利用美国普查局的信息随机选取了850名美籍西班牙人。如果有575人说他们是美籍墨西哥人。令α＝0.05，验证这个比率是否为63％。

b.假定在过去，购买食品的西班牙人中有94％是妇女。也许由于文化价值观的改变，我们认为如今有更多的西班牙男性开始了购物活动。我们随机从全国制造出689名西班牙购物者作为样本，其中606人是妇女。由这个证据是否足以得出结论：如今西班牙购物者中的妇女比率降低了？

c.西班牙人中主要听西班牙语广告的人占多大的比率？假定有资料显示过去的这个比率一直为0.83。我们想验证如今的这个数值是否依然成立。随机抽取438名西班牙人作为样本，其中347人主要听西班牙语。令α＝0.05，根据这些数据进行恰当的计算得出有关结论。

②统计均值可用于测量西班牙文化及西班牙市场的许多方面，包括购买量、购买频率、消费者的年龄和店铺的规模等。利用本章讲的方法分析下面的每个问题，并讨论所得的结果会怎样影响销售决策。

a.Doritos Salsa Verde购买者的平均年龄为多少？假定最初的检验表明年龄均值为31岁，的确是这样的吗？为进行验证，一位研究人员随机与24个DoritosSalsaVerde购买者进行了接触，向他们询问了年龄，数据如下所示。根据假设检验的结果，确定一下年龄均值是否真的为31岁。令α＝0.01，则

b.一个西班牙消费者每年在小吃上的平均花费为多少？假定这个数值是每年45美元。一位了解西班牙市场情况的研究人员认为数值太高了，想验证一下。她随机选出18个西班牙人，让他们对一个的购物情况进行记录，获得了下面的数据。利用本章所讲的方法，对该数据进行分析［α＝0.05（单位：美元）］。

表6.10　购物数据

【思考与练习】

一、思考题

1.理解原假设与备择假设的含义，并举例说明建立原假设与备择假设的规则。(www.xing528.com)

2.第Ⅰ类错误、第Ⅱ类错误分别是指什么？

3.什么是显著性水平？它对假设检验决策的意义是什么？

4.总体方差未知正态总体均值的假设检验应该构造什么检验统计量？

5.简述假设检验的一般步骤。

6.什么是p值？利用p值进行检验和利用统计量进行检验有什么不同？

7.大样本情况下总体均值检验应构造什么检验统计量？

8.分别列出大样本情况下总体均值左侧检验、右侧检验和双侧检验的拒绝域。

9.小样本情况下总体均值检验应该构造什么检验统计量？应用前提是什么？

10.总结不同情况总体均值检验的基本程序。

二、练习题

1.研究人员发现，当禽类被拘禁在一个很小的空间内时，就会发生同类相残的现象。一名孵化并出售小鸡的商人想检验某一品种的小鸡因为同类相残而导致的死亡率是否小于0.04。试帮助该商人定义检验参数并建立适当的假设。

2.一家大型超市连锁店接到许多消费者投诉某种品牌炸土豆片中60g一袋质量不符。店方猜想引起这些投诉的原因是在运输过程中，产生了土豆片碎屑，碎屑沉积在食品袋底部，但为了使顾客们对花钱买到的土豆片物有所值，店方决定对来自于一家最大的供应商的下一批袋装炸土豆片的平均质量（g）μ进行检验，假设陈述如下：

H0：μ≥60　　H1：μ＜60

如果有证据可以拒绝原假设，店方就拒收这批土豆片并向供应商提出投诉。

（1）与这一假设检验问题相关联的第Ⅰ类错误是什么？

（2）与这一假设检验问题相关联的第Ⅱ类错误是什么？

（3）你认为连锁店的顾客们会将哪类错误看得较为严重？而供应商会将哪类错误看得较为严重？

3.某公司称其应收账金额的均值为260.00元，审计师希望通过选取一个n＝36的样本计算样本均值来检验是否如此。只有当样本均值不等于260.00时，审计师才会拒绝这个假设，已知应收账款金额的标准差为σ＝43.00元，样本均值为240.00元，计算当显著性水平α＝0.05时，计算总体均值的置信区间。运用p值判断原假设应否被拒绝。

5.某生产过程的设计目的是为了保证牙膏的净含量160g。如果生产过程中牙膏的净含量少于160g，将会影响销售量，但如果生产过程中牙膏的净含量超过160g，又可能使公司的利润减少。为了监控生产过程，车间的质量检验员定期随机地抽取8支牙膏作为一个简单随机样本，样本平均净含量为160.7g，标准差为1.8g，通过测定它们的净含量对机器是否正常运转作出判断，显著性水平α＝0.05。

6.某保龄球馆在过去的几个月中，来打保龄球的人中有20％为女性。为了提高女性打保龄球的比例，该球馆采取了一些营销活动来吸引女性保龄球手。一周后，随机抽取了400名球手作为一个样本，结果有300名男性球手和100名女性球手。请你帮该球馆经理据此判断：在0.05的显著性水平下，该保龄球馆女性保龄球手的比例是否有所提高？

7.为监测空气质量，某城市环保部门每隔几周对空气烟尘质量进行一次随机测试。已知该城市过去每立方米空气中悬浮颗粒的平均值是82μg。在最近一段时间的检测中，每立方米空气中悬浮颗粒的数值见表6.11。

表6.11　每立方米空气中悬浮颗粒的数值/μg

根据最近的测量数据，在显著性水平α＝0.01时，能否认为该城市空气中悬浮颗粒的平均值显著低于过去的平均值？

8.对消费者的一项调查表明，17％的人早餐饮料是牛奶。某城市的牛奶生产商认为，该城市的人早餐饮用牛奶的比例更高。为验证这一说法，生产商随机550抽取人的一个随机样本，其中115人早餐饮用牛奶，在α＝0.05显著性水平下，检验该生产商的说法是否属实？

9.一项新的减肥计划声称：在计划实施的第一周内，参加者的体重平均减轻至少8lb（1lb＝453.6g）。随机抽取40位参加者，结果显示样本体重平均减少7lb。样本标准差是3.2lb。当显著性水平α＝0.05，你是否相信该项减肥计划？

10.某车间生产铜丝，生产一向比较稳定。今从中随机抽取10根，测得铜丝折断力均值为575.2，方差为75.73。问：是否仍然可以相信该车间生产的铜丝的折断力的方差依然是64？（要求：α＝0.05，并且已知铜丝折断力服从正态分布）

【注释】

[1]David R.Anderson，Dennis J.Sweeney，Thomas A.Williams.商务与经济统计学精要［M］.大连：东北财经大学出版社，2000：310.

[2]如果无法确定总体是否服从正态分布，可以考虑将样本容量增大到30以上，然后按大样本的方法进行检验。

[3]总体比例检验时，确定样本容量是否“足够大”的方法与总体比例的区间估计一样，参见第5章。在实践中较少对总体比例进行小样本检验，且其检验程序相对复杂。

[4]肯·布莱克，等.以Excel为决策工具的商务与经济统计［M］.张久琴，等，译.北京：机械工业出版社，2003：243.