相关与回归分析的优化方法

世界上所有的模型都只是对现实世界的某种近似。没有完美的模型。所有的模型都命中注定要被修正、改进以至于被替代。

——吴喜之

【学习目标】

学习了第7章方差分析，大家掌握了分类型自变量与数值型因变量之间的分析方法，本章则是在第7章的基础上，研究数值型的自变量与数值型因变量之间的数量关系。该章主要是向读者介绍两个数值型变量相关程度的测度与如何用数学表达式建立两个数值型变量之间的关系。目的是让读者在学习一元线性回归分析方法时，理解两个数值型变量间的线性相关关系的测定，掌握如何采用合适的数学模型建立两者的关系，并利用数学模型进行预测，为事物的发展与预测，提供科学的依据。

本章集前面所学的抽样分布、假设检验与方差分析方法于一体，具有较强的知识综合性，通过本章学习既是对已学知识的温故知新，也是提升统计方法综合应用能力的体现。

【知识点浏览】

1.变量间关系的度量。

2.相关系数的测定与显著性检验。

3.一元线性回归模型与参数最小二乘估计。

4.判定系数与估计标准误差的计算意义。

5.线性关系与回归系数的检验。

6.利用回归模型进行估计与预测。

7.残差分析。

【开篇案例】(www.xing528.com)

宝丽来公司的产品回归分析^[1]

宝丽来公司的消费者摄影业务开始于1947年，当时公司的创始人，埃德温·兰德博士，宣布用一种单步骤干燥照相制版术可以在拍照后不到1min制作出照片。1949年首批宝丽来公司兰德照相机和胶卷开始销售。从那以后，通过宝丽来公司在化学、光学镜片和电子学等方面的不断研制和开发，他们已经生产出更高质量、可靠和方便的摄影系统。

宝丽来公司的另一个主要业务部门，即技术与实业摄影，将注意力集中在使宝丽来公司的快速成像摄影成为当今可视交流环境中的一个重要组成部分。为达到此目标，该公司在市场上大量销售不同类型的直接摄影系统，有用于专业的、实业的、科学和医学上的照相机、配件和胶卷。其他业务还包括磁学、太阳镜、化学制品、定制的涂料和全息照相术。

用来测量照相材料灵敏度的感光计，可提供许多关于胶卷特性上的信息，如胶卷的有效曝光范围。在这家公司的中心感光实验室里，科学家们系统地对直接成像胶卷进行抽样和分析，这些胶卷被储存在一种模拟的温度和湿度中，这种温度和湿度是这些胶卷被顾客购买之后很可能会碰上的。该实验室在时间（生产时间）上进行分类抽取胶卷，从1个月到13个月的，以便他们弄清楚胶卷的感光速率，和该公司扩大生产的一种彩色专用冲印胶卷出厂时间之间的关系。数据显示胶卷的感光速率随着出厂时间的延长而降低，用一条直线能近似地表达胶卷的感光速率与胶卷出厂时间之间的变化关系。

运用回归分析，该公司有关胶卷的感光速率与胶卷时间之间的变化方程为

y＝－19.8－7.6x

式中，y为胶卷的感光速率；x为胶卷的时间（单位：月）。

这个方程显示胶卷的感光速率每个月平均减少7.6个单位。由此提供的信息，再结合顾客购买和使用的方式，该公司就能够进行生产调整，从而生产出能满足顾客要求的胶卷。

【思考与讨论】

1.宝丽来公司利用的回归分析方法有何意义？

2.结合你的专业，想想哪些问题可采用回归分析的方法。

方差分析是对分类型自变量与数值型因变量之间关系的分析方法。如果在实际研究中，分析的两个变量均是数值型变量时，这要采用本章向读者介绍的相关与回归分析的方法。

相关与回归分析从所处理的变量多少来看，如果是研究两个变量之间的关系，称为简单相关与简单回归分析（或一元回归）；如果研究两个以上的变量之间的关系，则称为多元相关与多元回归分析；从变量之间的关系上看，有线性相关及线性回归分析（或一元回归分析）与非线性相关及非线性回归分析。本章主要讨论简单线性相关和简单线性回归的基本原理与方法（即一元线性相关与回归），它是我们学习相关与回归分析的基础，掌握了两个变量间的线性相关与回归分析，才能更好地理解其他形式的相关与回归分析方法。