利用估计的回归方程，对于x的一个特定值x0，求出y的一个估计值的区间就是区间估计。区间估计也有两种类型：一是置信区间估计；二是预测区间。◎定义8.16：对x的一个给定值x0，求出y的平均值的估计区间，这一区间称为置信区间（confidence interval estimate）。◎定义8.17：对x的一个给定值x0，求出y的一个个别值的估计区间，这一区间称为预测区间（confidence interval estimate）。1）y的平均值的置信区间估计
【例8.9】 根据例8.4所求的估计方程，取x0＝100，建立不良贷款95％的置信区间。
解 根据前面的计算结果，已知n＝25，se＝1.9799，查表得tα/2（n－2）＝t0.025（25－2）＝2.0687。
当贷款余额为100亿元时，不良贷款的点估计值为2.96亿元，即
E（y0）＝－0.8295亿元＋0.037895×100亿元＝2.96亿元
根据式（8.28）得E（y0）的置信区间为
即2.1141≤E（y0）≤3.8059。也就是说，当贷款余额为100亿元时，有95％的置信水平估计不良贷款的平均值在2.1141亿～3.8059亿元。
2）y的个别值的预测区间估计
若不再是估计贷款余额为100亿元时所有分公司的平均不良贷款，而只希望估计贷款余额为72.8亿元的那家分公司的不良贷款的区间是多少，这个区间则称为预测区间。
因此，y的一个个别估计值y0的标准差估计量为
因此，对于给定的x0，y的一个个别值y0在1－α置信水平下的预测区间为
与式（8.28）相比，式（8.31）的根号内多了一个1。因此，即使是对同一个x0，这两个区间的宽度也是不一样的，预测区间要比置信区间宽些。
表8.7 25家分公司不良贷款的置信区间和预测区间
图8.12 置信区间和预测区间示意图
从图8.12中可知，影响区间宽度的因素：
①置信水平（1－α）。区间宽度随置信水平的增大而增大。
②数据的离散程度s。区间宽度随离散程度的增大而增大。
③样本容量。区间宽度随样本容量的增大而减小。
【学习指导与小结】
相关与回归是研究数值型变量之间关系的统计方法。该方法广泛应用于自然科学和社会科学的各个领域。本章首先介绍相关分析方法，然后介绍一元线性回归分析方法。见表8.8。
表8.8 本章各节的主要内容和学习要点
续表
注：“加粗”部分为重点学习要点，应当重点学习并掌握。
【常用术语】
相关关系 相关分析 相关系数 回归分析 回归模型 回归参数 估计标准误差 判定系数 置信区间估计 预测区间估计
【案例讨论】
三角洲线缆公司于1978年成立于密西西比的克拉克斯代尔，公司为全球市场提供高碳钢线缆。目前，职工约100人，最近几年销售业绩一直呈上升趋势。
不过，就在几年前，三角洲线缆的前途似乎不怎么光明，原因是它们受到了可能毁灭前途的阻碍。随着美元的贬值，来自国际市场的竞争使三角洲的市场地位不断受到威胁。随着国际市场竞争的加剧，行业品质的要求也在逐年提高。三角洲的管理层认识到有些因素，如美元贬值是不受他们控制的，但是，有一个方面他们可以做出改善，那就是员工培训。公司与密西西比州携手与一本地社区大学联合建立了自己的学校。三角洲的职员在那里学习了统计的过程控制及其他保证品质的方法。同时，三角洲向其用户一再保证公司正致力于品质及竞争力的提高，客户也被邀请到培训现场旁听。通过这些努力，三角洲终于拨开乌云，捍卫了自己在激烈竞争的钢质线缆中的领先地位。
【讨论】
①三角洲线缆为自己在员工培训方面作出的努力而自豪，员工培训可以获得多方面的好处，对他们中的一部分进行讨论。其中一个好处是可以重新燃起对工作和公司的兴趣和兴奋度。有人提出一个理论：由于对补充知识的学习态度更积极、兴趣更大，员工受到的培训越多，他/她缺勤的可能性越小。假定表8.9的数据反映的是上一年度20个员工的病假天数和相应培训合同时数，用本章学习的方法对数据进行分析，包括回归分析和相关分析，讨论相关强度以及建立的任何模型。
表8.9 上一年度20个员工的病假天数和相应培训合同时数
②许多公司发现，全面质量管理的执行最终会使销售额增长，很多例子表明，公司如果不致力于质量的管理，最终会失去市场份额甚至退出市场。公司改善质量的努力成果可用客户满意度来衡量。假定三角洲线缆公司雇用某个公司来调查每年的客户满意度，调查公司将客户满意度设定了一个范围，完全满意为50分，完全不满意为0分，通过对不同行业的调查得出分数，然后取平均数得到年客户满意度平均分地。随着客户满意度分数的升高，销售额会上升吗？为研究这一问题，假定有了15年中三角洲线缆每年客户满意度平均分以及相应年度的销售额数据，对这些数据进行了回归分析，假定表8.10的Excel输出表就是回归分析结果。如果你被三角洲线缆公司邀请对数据进行分析并对结果进行小结，你会得到什么结论？
表8.10 回归分析结果
【思考与练习】
一、思考题
1.解释相关关系的含义，说明相关关系的特点。
2.相关分析主要解决哪些问题？
3.简述相关系数的性质。
4.为什么要对相关系数进行显著性检验？
5.在回归模型中，为什么要加入误差项ε？
6.简述参数最小二乘估计的基本有理。
7.解释总平方和、回归平方和和残差平方和的含义，并说明它们之间的关系。
8.简述判定系数的含义和作用。
9.在回归分析中，F检验和t检验各有什么作用？
10.简述线性关系检验和回归系数检验的具体步骤。
二、练习题
1.从某一行业中随机抽取12家企业，所得产量与生产费用数据见表8.11。
表8.11 所得产量与生产费用数据
（1）绘制产量与生产费用的散点图，判断两者之间的关系形态。（2）计算产量与生产费用之间的相关系数。
（3）对相关系数的显著性进行检验（α＝0.05），并说明两者之间的关系强度。
2.学生在期末考试之前用于复习的时间和考试分数之间是否有关系？为研究这一问题，一位研究者抽取了由8名学生构成的一个随机样本，得到的数据见表8.12。
表8.12 所得的数据结果
（1）绘制复习时间和考试分数的散点图，判断两者之间的关系形态。
（2）计算相关系数，说明两个变量之间的关系强度。
3.一家物流公司的管理人员想研究货物的运输距离和运输时间的关系，为此，抽取了公司最近10辆卡车运货记录随机样本数据见表8.13。
表8.13 运货记录随机样本数据
（1）绘制运送距离和运送时间的散点图，判断两者之间的关系形态。（2）计算线性相关系数，说明两个变量之间的关系强度。
（3）利用最小二乘法求出估计的回归方程，并解释回归系数的实际意义。
4.表8.14是7个地区2000年的人均国内生产总值（GDP）和人均消费水平的统计数据。
表8.14 2000年的人均国内生产总值（GDP）和人均消费水平的统计数据
（1）人均GDP作自变量，人均消费水平作因变量，绘制散点图，并说明两者之间的关系形态。
（2）计算两个变量之间的线性相关系数，说明两个变量之间的关系强度。(www.xing528.com)
（3）利用最小二乘法求出估计的回归方程，并解释回归系数的实际意义。
（4）计算判定系数，并解释其意义。
（5）检验回归方程线性关系的显著性（α＝0.05）。
（6）如果某地区的人均GDP为5000元，预测其人均消费水平。
5.某汽车生产商欲了解广告费用（x）对销售量（y）的影响，收集了过去12年的有关数据。通过计算得到表8.15和表8.16的有关结果。
表8.15 方差分析表
表8.16 参数估计表
（1）完成上面的方差分析表。
（2）汽车销售量的变差中有多少是由于广告费用的变动引起的？
（3）销售量与广告费用之间的相关系数是多少？
（4）写出估计的回归方程并解释回归系数的实际意义。
（5）检验线性关系的显著性（α＝0.05）。
6.一家公司拥有多家子公司，公司的管理者想通过广告支出来估计销售收入，为此他抽取了8家子公司，得到广告支出和销售收入的数据见表8.17。
表8.17 广告支出和销售收入的数据/万元
建立线性回归模型，并求出当x＝40万元时，销售收入95％的置信区间。
7.表8.18是10个品牌啤酒的广告费用和销售量的数据。
表8.18 10个品牌啤酒的广告费用和销售量的数据
（1）用广告费支出作自变量x，销售额作因变量y，求出估计的回归方程。
（2）用残差分析检测是否存在异常值和有影响的观测值。
（3）简要概括一下你的发现。
8.某集团所属10个企业近年来平均研究费用和利润额资料见表8.19。
表8.19 平均研究费用和利润额资料
试分析研究费用与利润额之间是否存在相关关系？计算相关系数并加以检验（α＝0.05）。
9.随机抽取某企业15户职工家庭，并对月人均收入和恩格尔系数进行调查。其结果见表8.20，试用Excel进行回归分析，计算其相关系数并进行显著性检验、判定系数、估计标准误差，建立一元线性回归方程并解释回归系数的意义，对回归模型和回归系数进行检验（α＝0.05）。
表8.20 调查结果
【注释】
[1]DavidR.Anderson，DennisJ.Sweeney，ThomasA.Williams.商务与经济统计学精要［M］.大连：东北财经大学出版社，2000：424.
[3]平均值的点估计实际上是对总体参数的估计，而个别值的点估计则是对因变量的某个具体取值的估计。
[4]肯·布莱克，等.以Excel为决策工具的商务与经济统计［M］.张久琴，等，译.北京：机械工业出版社，2003：378.
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