函数概念的发展与科技进步

函数的概念是在科学技术的不断发展中发展成熟的，物理学、天文学、计算机科学的发展，促进了函数的不断深化，历经四个多世纪的发展，函数的概念目前已经形成了三种定义方式——经典定义、现代定义和映射定义。

首先，经典定义。一般来说，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么y就是x的函数。

其次，现代定义。设A、B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A。

最后，映射定义。一般来说，给定非空数集A、B，从集合A到集合B的一个映射，叫从集合A到集合B的一个函数。

在近四个世纪的演绎中，许多大科学家如伽利略、笛卡尔、莱布尼兹、伯努利、欧拉、柯西、傅立叶、狄利克莱等都为它的发展做出了杰出的贡献。

（一）早期的函数概念

17世纪，笛卡尔在他的解析几何中发现了一个变量对另一个变量的依赖关系，莱布尼兹于1673年首次使用“function”表示函数，后来他用“function”表示曲线的横坐标、纵坐标。这是在解析几何基础上建立和发现的，与几何有关，因此它体现了解析几何思想——用代数研究几何。

（二）18世纪函数的概念——建立在代数观念下的函数

18世纪前期，瑞士数学家约翰·贝努利对函数的概念进行了定义，认为凡是变量x和常量构成的式子都叫作x的函数，而且他强调是函数就要用公式来表示，如果不能用公式表示就不是函数。18世纪中叶，欧拉将贝努利的函数概念进行了推广，他认为贝努力给出的函数定义是解析函数，他的定义为：“如果某些变量，以某一种方式依赖于另一种变量，即当后面这些变量变化时，前面这些变量也随着变化，前面的变量称为后面变量的函数。”在这个定义中，不再要求函数必须用公式表示了。(www.xing528.com)

（三）19世纪函数的概念——建立在对应关系下的函数

1821年，法国数学家柯西在他所给出的函数定义中首次提出了“自变量”一词，但他还是偏向于函数可以用解析式来表示。

1822年，法国数学家傅立叶发现函数也能用曲线来表示，于是将柯西和约翰贝努利的“函数必须用解析式表示”的理论推翻，从而使人们对函数的认识又向前推进了一步。

1837年，德国数学家狄利克莱取得了突破性的进展，他将函数的定义发展成为我们常说的经典定义：“对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，则y就是x的函数。”他抓住了函数的本质——对应关系，这个对应关系不管是以何种形式存在的，只要有就可以。这个定义便于人们理解，因而被经常使用，我们初中教科书中引入函数定义时就是用的这个定义。

19世纪中后期，德国数学家康托尔创立了集合论，使整个数学界感到震惊，他的基本概念已经渗透到数学的所有领域。目前，集合论与逻辑、一阶逻辑共同构成了现代数学的公理化基础，在集合论创立后，美国数学家维布伦从“集合”与“对应”的角度给出了函数的近代定义。

（四）现代函数的概念——集合论下的函数

如前所述，康托尔创立的集合论在数学中占据着重要的地位，现代数学的好多分支都由其而来，因而19世纪后期至20世纪，人们更多的是从集合的角度来看待函数。1930年，新的现代函数被定义为：“若对集合M的任意元素x，总有集合N中确定的元素y与之对应，则称在集合M上定义了一个函数，记为y=f（x）。”

自康托尔的集合论被大家接受以来，我们高中的教科书上一直沿用着用集合对应关系定义的函数，即设A，B是非空的数集，如果按照某种确定的对应关系f（x），使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它对应，那么就称f：A→B为集合A到集合B的一个函数，记作y=f（x），x∈A。