一、改进前的教学片段
例题：A城有肥料200吨，B城有肥料300吨，现要把这些肥料全部运往C、D两乡。从A城往C、D两乡运肥料，费用分别为每吨20元和25元；从B城往C、D两乡运肥料，费用分别为每吨15元和24元。现C乡需要肥料240吨，D乡需要肥料260吨。怎样调运总运费最少？
1.教师活动
教师通过引导学生讨论调运问题的重点并分析思考其突破点。首先分析影响总运费的变量有哪些，然后有几个变量及变量之间函数关系式，分析出总运费与变量间的函数关系式，进而利用函数有关模型知识解决问题。
2.课堂过程
师：关于调运问题的这个例题中，都有哪些变量？
生1：A到C运肥料的吨数，A到D运肥料的吨数，B到C运肥料的吨数，B到D运肥料的吨数。
师：请同学们设出其中一个量，并找出对应函数关系式。
生2：设A到C为x吨，A到D为200-x吨；由于C乡要运送240吨，B到C为240-x吨；由于D乡要运送260吨，B到D为260-200+x吨。
师：各个乡的各运输费用为多少？
生3：A到C为20x元；A到D为25×（200-x）元；B到C为15×（240-x）元；B到D为24×（60+x）元。
师：如何列关系式？
生4：y=20x+25×（200-x）+15×（240-x）+24×（60+x）
化简整理得：y=40x+10040。
师：自变量取值范围呢？
生5：0≤x≤200。
教师据此画出的函数图像如图6-1所示。
图6-1
教师得出结论，从解析式或所画的函数图像中都可以看出，当x等于0时，y值最小，y的数为10040。因此，从A城运往C乡为0吨，运往D乡为200吨；从B城运往C乡为240吨，运往D乡为60吨。这时的总运费最少，结果为10040元。
【评论】领着学生走是以往的教学模式，函数建模是学生学习的一个难点，学生不会审题、建模，在运用具体的函数模型时，学生只是被动地听教师示范讲解，跟着教师走，结果还是不会，更不用说自己探究了。该教师在讲解中，学生读题、讲解、回答、下结论，共用了10分钟的时间，举手也只有5位学生，课后检测学生的学习过程，课下预习新知识的只有3人，教师只布置预习函数应用，没有实质性的引导。由于学生搞不懂，得过且过，没有及时找教师反馈，被动学习占90%。对于课上的情况有没有及时改进教学方法，教师只是想了一下如何改进，没有实质性地回馈到书本上，设计的问题没有给学生留有充足的思考时间和空间，也没有给学生总结和归纳的时间，一切全部包办，导致学生的依赖性较强。
二、改进后的教学片段
首先布置预习内容：根据以下问题来分析，由浅到难：（学生分为6小组，各小组讨论交流后，课上汇报）
1.由A城到C、D乡，由B城到C、D乡运肥料，共涉及几个变量？它们之间有什么联系？
2.设其中一个变量，把其他几个变量表示出来。
3.本题关系式是什么？（注意自变量的取值）
4.试着把图画出来。
5.给出结论。(www.xing528.com)
追加一问：若A城有肥料300吨，B城200吨，其他条件不变，又该怎样调运呢？
小组1分析：
在这道题中，A到C、A到D、B到C、B到D运肥料有联系的变量有4个，这些都与总运费的变量有关系。如果我们能够确定其中一个变量，那么其余三个变量也就随之确定。所以只要我们设其中一个变量为x，其他变量就可以用含x的代数式表示出来。
小组2利用表格分析，具体如表6-3、6-4所示：
表6-3 A到C、B到C、B到D运肥量统计表
表6-4 A到C、B到C、B到D运肥费用统计表
小组3书写形式：
若设A到C为x吨，则：由于A城有肥料200吨，A到D为200-x吨；由于C乡要240吨，B到C为240-x吨；由于D乡要260吨，B到D为260-200+x吨。
各运输费用为：A到C为20x元；A到D为25×（200-x）元；B到C为15×（240-x）元；B到D为24×（260-200+x）元。
设总运输费用为y元，那么y与x的关系式为：y=20x+25×（200-x）+15×（240-x）+24×（60+x）。化简整理的得：y=40x+10040（0≤x≤200）。
小组4通过图像分析（图像为图6-1解析图）：
由解析式或图像都可看出，当x=0时，y值最小，为10040。
因此，从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨；从B城运往C乡240吨，运往D乡60吨。此时总运费最少，为10040元。
教师追问小组5：若A城有肥料300吨，B城200吨，其他条件不变，又该怎样调运呢？
小组5分析（解题方法与思路不变，只是过程有所不同）：
A到C为x吨，A到D为300-x吨，B到C为240-x吨，B到D为x-40吨。
反映总运费y与x的函数关系式为：y=20x+25×（300-x）+15×（240-x）+24×（x-40）。化简为：y=4x+10140。
由解析式可知，当x=40时，y值最小，为10030。
因此，从A城运往C乡40吨，运往D乡260吨；从B城运往C乡200吨，运往D乡0吨。此时总运费最小值为10300元。
师：如何确定自变量x的取值范围？
小组6分析：
是40≤x≤300，由于B城运往D乡的代数式为x-40吨，实际运费不可能是负数，而且A城中只有300吨肥料，也不可能超过300吨，所以x的取值应在40吨到300吨之间。
教师总结：当我们要解决一个题型中含有多个变量的问题时，首先分析这些变量之间具有什么样的关系，然后选择其中一个变量作为自变量，根据题中所给条件找到可以反映实际问题的函数模型，来解决我们生活中的实际问题。当然，在解决问题时，我们要注意如何确定自变量的取值范围，注意实际生活的限制条件。
【评论】原来的课堂是满堂课、满堂练，学生习惯于以前的旧模式，记、背、套，虽然现在已经倡导把课堂还给学生，可是现在教师还是一味地讲解，生怕学生不会，不给学生充足的思考和练习时间，学生在思维上的不足没有显现出来，虽然在课堂上也有提问，学生在回答过程中也是对答如流，但是，实质上本应该学生自己发现的问题，本应该自己解决的问题，全部让个别学生回答了，或者教师自己说出了答案，结果事与愿违。只有教师放手去做，多给学生思考的时间和空间，多给学生说和做的时间，减少学生听和教师讲的时间，探究引导学生以及评价自己的不足。在这次教学中，60%的学生在积极参与，并寻找解题途径，其中遇到许多问题，有些学生会问这是什么函数，应该是什么图像，找关系式怎么找，它们有什么关系。教师给学生充分思考交流的时间，这次讲解过程用了23分钟，虽然时间相比较多，但效果是值得肯定的，课下有75%的学生已经会着手解决类似问题。
所以我们发现，教学不可以固守不变，世间万物是变化的，现代世界也是如此，所谓“万变不离其宗”也是这道理，在处理函数之间的关系时，应注意教学的辩证统一观点。
课后练习的改进检测分为简单应用、灵活应用、实际问题、拓展想象，找出相应的关系式，建立模型，求解，检测，结果表明：建立正确模型的简单应用，运算正确的人数改进前占80%，改进后占80.5%，没有太大的差距；考虑各因素的灵活应用，应用正确的人数改进前占10%，改进后占60%；实际问题应用的练习，应用正确的人数改进前占40%，改进后占75%，其想象力也大大提高。这样改进，虽然时间上长了一些，但学生的思维品质大大提高，想象力也丰富了，课堂气氛也活跃了，学生说得多了，积极参与的多了，问题也就多了，学生思维的不足也就暴露了出来。在这种情况下，学生的思维被激活，教师可以补充学生的不足，以便更好地理解其本质意义。学得精才能用得活，我们知道，掌握技能需要多练习，熟能成巧，还需要巧练，会做变式处理，也就是定义变化、过程变化、开放题等的变式。这种变化我们都有目共睹，学生探究有办法，教师先得想办法，所以教师在想办法前，需要考虑本班的学情、任务、全程检测、行为改进，前两者是考虑学生的，后两者是考虑教师本身的，把学生的独立学习和教师的适当帮助整合起来，教师应该成为有研究能力的实践者，学生的独立思考、创新应用需要教师的精心设计。
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