基于数学建模思想和教材的综合与实践建议

“综合与实践”作为《标准》所规定的课程内容的一部分，其地位毋庸置疑，做好其教学也就成了初中数学阶段的一个重要任务。而“综合与实践”本身就是新课程改革以来提出的一个新的课程内容，它不同于一般的数学知识与技能的教学，已经经过了漫长的发展，积累了丰富的经验，所以现阶段对“综合与实践”的教学仍处于不断地探索的阶段，对该内容的设计也存在许多问题。教材作为教学的首要参考对象，有义务和责任设计出符合《标准》所要求的“综合与实践”活动，笔者试图从建模的角度来设计“综合与实践”，为教材的编写或者“综合与实践”的教学设计提供一些思考与建议。

（一）活动设计要体现探究性

探究性原则主要体现在三个方面：希望由学生来简化一些条件、做出一定的假设；为学生发现问题和提出问题提供一定的空间；解题方法多样。活动设计的探究性要求教材中的“综合与实践”活动不能像常规的应用题一样，条件的数量非常恰当，不需要学生做一些简化，而且条件之间的关系都很清晰，也不需要做出一定的假设。要注意控制现实问题与数学之间的关系，给学生发现和提出问题留出思维的空间，另外要求解决问题的方法具有多样性，给学生在问题解决的方法上留出创造的空间。要体现活动设计的探究性，可以从四个角度进行：舍去和生活联系紧密的条件，由学生探究；增设条件，引导学生对条件进行简化；控制条件关系的呈现；给予学生多种方法解决问题的空间。比如，人教版教材的“选择方案”中的“怎样选取上网收费方式”，主要有四个问题：条件设置过于明确、问题分析太过细致、问题解决过程设计得太细致、解决问题的方法唯一，可做如下修改。

首先，原活动以表格的形式直接给出了三种上网收费方式，其实上网收费的方式有很多，而且也和学生的生活实际结合得非常紧密，在此可以去掉原活动中的条件表格，改由学生小组合作，收集各自家庭的上网收费方式，然后全班学生进行交流讨论，选取三种比较常见的上网收费方式，数据收集可由学生周末完成，并不占用课堂教学时间。

其次，原活动在分析环节直接给出了条件中的常量、变量，并给出了未知数的设法，这显然是在提示学生利用函数来解决问题，在此可以将分析这个环节去掉，设计为五个问题：不同的收费方式所产生的费用受到哪些因素的影响？哪些因素是主要的影响因素？能否对别的因素进行简化处理？你能否用所学的数学知识来表示费用和主要因素之间的关系？你能否解决这个问题？这样设计也在一定程度上给予了学生引导，但是并不限制学生的思维，为学生的探究提供了空间。

最后，原活动直接给出了解决问题的详细过程，限制了学生对于问题解决方法的探究以及创造，在此可以做如下设计：能否用多种方式来表示不同收费方式主要因素对上网费用的影响？小组合作、讨论交流不同表示方式的优缺点。和班上同学交流，哪种表示方法最好？你能否根据最佳的方法来解决问题？上述设计的主要目的是引导学生探究解决问题的多种方法，再对方法进行分析讨论，寻求最佳方法，既有利于学生的探究性思维的发展，也有利于学生的反思性思维的发展，还能培养学生数学交流的能力。

（二）强化对问题难度的控制

问题的设计既要体现障碍性，又要体现可接受性，这就要求教材在设计“综合与实践”活动的时候要控制问题的难度，既要保证一定的难度，让学生没有直接解决问题的方法，但又不能因为太难而偏离了“综合与实践”，倾向于对问题解决过程的要求，还必须结合学生已有的相关简单问题解决的经验。教材在问题难度的控制方面已经取得了不错的成果，但仍然有部分问题存在偏难或偏易的问题，由于问题的难度对于整个活动开展的影响过大，于是我们不得不继续强化对问题难度的控制，从而达到比较准确的效果。

1.对于部分较为简单问题的改进方法

可以将问题的考查重心转移到问题解决过程的探究上来；鼓励学生采用多种方法来解决问题。比如，人教版教材七年级下册“数学活动”中的“用简单随机抽样方法估计全班同学的平均身高”，原活动直接给出了问题解决的方法步骤，使得问题解决变得过于简单，可以进行如下改进设计。

首先，将活动名称改为“采用合适的抽样方法估计全班同学的平均身高”，这样就将不同的抽样方法纳入了考虑范围，增加了一定的探究性，使得问题的难度有了一定提升，但是并没有超出学生已有的知识基础，学生仍可以接受。其次，将解决的详细过程去掉，采用问题驱动的形式来引导学生探究解决问题的办法，可设计如下问题与要求：抽样的方法有哪些？哪些方法能够解决问题？小组交流、选择一种方法，设计出详细的方案。班级讨论、选择一种方案实施。这样的设计就可以将解决问题的难度进行适当的提升，学生对于解决统计概率问题的方法、过程有了比较深刻的体验，并能够通过小组合作的方式针对此类问题设计出比较合适的实施方案，这对于学生感悟解决问题的一般过程以及动手实践能力的培养有着促进作用。

2.对于难度较大的问题的改进方式

可以对问题进行特殊化处理或者给出解决问题的具体过程，只要求学生感悟其过程。例如，北师大教材九年级下册的“设计遮阳篷”，有以下几个因素导致问题难度过大：问题的不确定因素太多；并没有很好地结合学生的生活现实；学生没有此类问题解决的经验基础。针对此活动，可做如下改进。

首先，控制一些变量，遮阳篷的设计需要考虑的变化因素太多，不同季节以及每一天的不同时间段，太阳照射的角度不同，这给学生的问题解决造成了很大的困扰，因此问题中可以考虑将变量进行控制，如仅仅要求学生考虑正午时分的情况，这样的设计就可以使得变量减少，降低难度。其次，将问题解决的环节与方法进行完整地呈现，要求学生讨论各个环节教材编写者的用意，整理解决该问题的思路。这样的设计在一定程度上降低了问题难度，但并不影响该活动对于学生发展的促进作用，只是改变了目标，降低了对学生知识技能的要求，而更多地突出了学生对问题解决过程的感悟。

（三）引导学生对问题解决过程进行归纳(www.xing528.com)

基于数学建模的“综合与实践”在设计上既要求教材在引导学生解决问题的过程中要遵循一定的问题解决流程，还要求学生要对问题解决的过程和成果进行总结展示。教材在进行活动设计时比较好地考虑了问题解决过程的示范，这也是现有教材的一个优点，但现有教材很少要求学生进行总结归纳，主要有两种状况：不做任何要求、有粗略的要求。值得说明的是，并不是所有活动过程都需要学生归纳总结形成小论文或研究报告，仅仅对一些典型的问题及其解决过程进行归纳总结即可，对于这个环节的设计，可做如下改进：教材要帮助学生整理问题解决的过程，可充分利用小组讨论的形式；教材要给学生提供一些示范。

例如，北师大教材的“探寻神奇的幻方”，该活动在最后的“想一想”环节设计了三个问题：你是怎样解决上述问题的？你认为怎样的九个数可以满足三阶幻方的要求？应怎样把这九个数填入三阶幻方？说说你的道理。你还有什么新的猜想？可对这三个问题进行如下改进设计，来达到对学生归纳总结的要求。

1.你是怎样解决上述问题的？

2.小组合作、收集各自的数据并讨论：你认为怎样的九个数可以满足三阶幻方的要求？应该怎样把这九个数填入三阶幻方？

3.小组代表向全班同学汇报本小组的成果，并结合其他小组的思路对本小组的成果进行完善。

4.全班讨论解决问题的全过程，小组合作以小论文的形式总结问题解决的过程与成果。

四个环节各有目的，第一个环节不做变化，是希望学生能够回顾之前解决问题的过程；第二个环节是希望小组通过交流合作，进一步完善问题解答的思路并发现不同结果所蕴含的共同的规律，建立起数学模型；第三个环节是希望通过更广的班级讨论交流，让学生更加清晰地感受到从特殊到一般的问题解决思路，完善此问题的解答思路与结果；第四个环节则是希望讨论、归纳出此问题解决的过程，最后要求学生小组合作将解决问题的过程用小论文的形式进行总结。这样的设计在一定程度上降低了学生对于问题解决过程进行归纳的难度，充分利用小组合作、班级讨论，使得问题的解决过程和结果更加精细，为学生的归纳总结打下基础。

（四）引导学生在问题解决过程中不断反思

教材的设计都存在比较大的问题，特别是人教版教材在设计活动的时候完全没有考虑对反思性思维的培养，北师大教材有一部分活动有一定的设计。那么，如何在设计中引导学生进行反思呢？首先，我们要清楚反思在活动过程中究竟在哪里发挥作用，本书在之前已经通过对数学建模的认知过程中心理活动的研究发现，自我监控主要发生在问题表征、模式识别、策略选择三个阶段，其作用都是监控主题对于问题表征是否正确、模式的匹配是否得当、选择的问题解决策略是否可行，以便主体随时对自己的决策做出判断、调整。结合上述的研究成果，在综合与实践的设计过程中，为更加完善地解决问题以及学生反思性思维培养的目标，可以采用如下的方式来引导学生进行反思：引导学生对条件的处理进行反思；引导学生对激活的类似的问题解决模式的匹配程度进行反思；引导学生对问题求解的过程进行反思；引导学生对问题解决的整个过程进行反思。以北师大教材九年级上册的“池塘里有多少条鱼”为例，可做如下处理来达到引导学生反思的目的。

1.在最初的问题呈现之后加入提问：要估计池塘中鱼的总数，我们之前所学有无类似的问题呢？

2.在“做一做”环节之后加入提问：估计的白球数量会因为抽样方式的不同而发生改变吗？和黑球的数量有直接关系吗？

3.在“想一想”环节中加入提问：只有白球没有黑球，这和我们之前的问题有何不同？之前的方法如何才能够应用到新的问题中呢？这种设计和我们之前的问题一致吗？

4.在最后的“做一做”环节中加入提问：估计池塘中的鱼和估计口袋中白球的数量是否有联系呢？有什么不同呢？既然有这种不同，还能否采用之前的方法？对结果有无影响？

通过一系列的问题串，不断引导学生对问题与问题之间的异同、问题解决方法的普适性等进行反思，加深学生对知识本质的理解，形成较强的知识迁移能力，更重要的是引导学生形成反思性的思维习惯，在学习的过程中不断质疑，形成良好的学习方式。