深入探索多位数乘法的教学方法

为了教多位数乘法，教师研究者马格德蕾·兰珀特（Magdelene Lampert）创造了一系列的课堂教学，其教学对象是计算技能参差不齐的28名4年级学生。有的学生刚开始学一位数乘法，有的学生则能够准确地计算n位数与n位数的乘法。教学意图是让学生体验重要的数学原理，包括加法和乘法的混合运算、结合率、交换率、分配率等，一步步地引导学生得出答案（Lampert，1986：316）。她对自己的教学做了清楚的表述，她对乘法结构的理解和她对与乘法相关的问题情景和广泛领域的陈述都是她在计划和实施教学时所考虑的问题。很明显，她的教学目标不仅包括学生对数学的理解还包括把学生培养成为独立的、有创造性的问题解决者。兰珀特（1986：339）对她自己的作用做了这样的描述：

我的作用是把学生有关如何解决和分析问题的观点摆在课堂上讨论，评判他们的论点合理与否，鼓励他们凭直觉应用数学原理。我也教给他们符号结构形式的新信息，强调数量的符号与运算之间的联系。但是，我让学生们自己决定有些事情是否符合数学原理。如果有人以这种方法领悟教师的作用，就很难把学科知识教学与创造一种理解意义的课堂教学文化孤立起来。在课堂里，老师和学生都是根据自己的观点，参照已有的原理来确定运算步骤的合理性。在老师一方，数学原理可能作为更为规范的抽象系统，而在学生一方，他们要了解这些原理则依赖他们熟悉的经验情景。但是最为重要的是教师和学生一起以一种特别的方法来看待和解决课堂数学题。

马格德蕾·兰珀特开始将学生们已有的多位数乘法的知识与原理概念知识结合起来。她用三节课时间做到了这一点。第一节课用到硬币问题，比如“只用两种硬币，用19个硬币构成1美元”鼓励学生用他们熟悉的硬币和硬币交易需要的数学原理。另一节课用了很简单的故事和图画来举例说明大数目可以归类以简化计算步骤。最后，第三节课仅仅用数字和算术符号代替问题。整个教学过程中，学生们都要面对挑战，根据提出的证据解释自己的答案，而不是根据老师说的或书本来检验答案。下面的例子强调了这种方法；参见背景资料7.2。

兰珀特（1986：337）的结论是：

……学生们运用原理性的知识，这些知识与小组成员用以解释他们所看到的东西的语言相联系。他们能够富有意义地谈论数的位值以及运算次序，解释运算过程的合理性，推导出结果的原因，即使他们并没有使用技术性的术语来表达。我把他们的试验和争论当作证据来说明他们已意识到数学不只是一个寻找答案的过程。

背景资料7.2　总共有多少？

老师一开始就提出一个基本计算问题。

老师：谁能给我讲个故事，故事中包含这个乘法计算12×4=？

杰西卡（Jessica）：有12只坛子，每一个坛子里有四只蝴蝶。(www.xing528.com)

老师：那么如果我做了这个乘法，得出答案，我对这些坛子和蝴蝶能了解些什么呢？

杰西卡：你就知道你有了那么多的蝴蝶。

老师和学生接下来用图画说明杰西卡的故事，建构计算蝴蝶的过程。

老师：好啊，这是坛子。我们用这些星星代表蝴蝶。现在，如果我们按组来考虑坛子，我们就能很容易计算出总共有多少只蝴蝶。通常，数学家们喜欢用哪个数字来分组？［用环状把10只坛子圈起来。］萨莉（Sally）：10。

这节课是这样展开的，老师和学生先建构一幅图画，用以划分以10为一组的4只蝴蝶，剩下2只坛子没有归组。他们认识到12×4可以考虑为10×4+2×4。兰珀特于是让学生们探索其他使坛子成组的方法，比如，组成每组6只坛子的两组。

学生们确实感到吃惊6×4+6×4等于10×4+2×4。对兰珀特来说，这一点对学生理解很重要（形成性评价—参见第六章）。这是一种迹象，表明她需要组织更多的包含不同组的活动。在随后的课堂教学中，学生遇到的两位数乘法中的数字更大，最大的大到——28×65。学生们继续加深他们对乘法原理的理解并创造出基于这些原理的计算过程。她要求学生们用故事和图画的方法来说明他们的运算过程的理由。最终，学生们探索了更多传统的和可供选择的仅仅用书写符号表达的两位数乘法的运算规则。

很明显，她对数学的深刻理解在她教学的过程中发挥了作用。值得指出的是她要帮助学生认识什么是数学的合理性的目标形成了她设计课堂教学的方法，这些方法启发了学生对两位数乘法的理解。