新知识如何转化与变换：创新与知识结合

新的课程标准指出：“对新颖的信息、情境和设问，选择有效的方法和手段收集信息、综合与灵活地应用所学的数学知识、思想和方法，进行独立思考、探索和研究，提出解决问题的思路，创造性地解决问题.”这就要求学生面对陌生情境，迅速提取有用信息，挖掘创新试题的内涵与本质，并合理迁移，运用已学的知识加以解决.

例1　已知正数a，b，c满足5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，则的取值范围是________.

解题策略　本题是多变量求范围问题，此类题构造较为复杂，是平时很少触及的新题型，解题的关键是需要深入观察两个条件不等式的特点，转化为线性规划问题来求解，当然，要实现这一新型题向常规题的转化，构造法发挥重要作用.

解：已知条件5c-3a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc可化为

设则原问题转化为：

已知x，y满足求的取值范围.

图7-16

作出点(x，y)所在平面区域(如图7-16所示)，求出y=ex的切线的斜率e，设过切点P(x0，y0)的切线为y=ex+m(m≥0)，则要使它最小，须m=0.

的最小值在点P(x0，y0)处，最小值为e，此时，点P(x0，y0)在y=ex图像上A，B两点之间，

点(x，y)对应点C时，即5y=20-5x，

4y=20-12x，解得y=7x，即

的最大值在点C处，最大值为7.

的取值范围为[e，7]，即的取值范围是[e，7].

例2　(1)设A，B是两个非空集合，定义A×B={x|x∈A∪B且xA∩B}，已知求A×B；

(2)对任意实数a，b，定义运算“*”如下：

求：函数f(x)=2x*log2(2-x)的值域.

解题策略　本例属于定义了一种新的运算的问题，新运算的定义，使得问题处在一个新的背景之下.解决这类新知识题的关键是理解新运算定义的内涵，然后运用等价转化的思想方法，将新知识问题转化为熟悉的旧知识问题加以解决.

解：(1)由题意得

∴A×B=[0，1]∪(2，+∞).

(2)由题意可知，f(x)=2x*log2(2-x)=min{2x，log2(2-x)}.

即当x<2时，取2x与log2(2-x)中的较小者，

而当x<2时，易得f(x)的值域为(-∞，1].

例3　对于定义域为D的函数y=f(x)，如果存在区间[m，n]⊆D，同时满足下列条件：

① f(x)在[m，n]内是单调的；② 当定义域是[m，n]时，f(x)的值域也是[m，n]，则称[m，n]是该函数的“和谐区间”.

(1)判断函数是否存在“和谐区间”，并说明理由；

(2)如果[m，n]是函数的一个“和谐区间”，求n-m的最大值；

(3)有些函数有无数个“和谐区间”，如y=x，试再举一例(无须证明).(www.xing528.com)

解题策略　本题给出了一个新的数学概念：函数的“和谐区间”，实际上就是定义域与值域相同的区间，结合函数的性质，转化为方程问题，运用方程理论求解，所谓新概念是为问题创设一种新的情况，把新的情境熟悉化，就找到了解题的突破口，这就是“饮水思源”“化新为旧”的解题策略.

解：(1)设[m，n]是函数的“和谐区间”，则在[m，n]上单调.

所以[m，n]⊆(-∞，0)或[m，n]⊆(0，+∞)，因此，在[m，n]上为增函数.

则f(m)=m，f(n)=n，即方程有两个解m，n.

又因为可化为x2-3x+4=0，而x2-3x+4无实数解，

所以函数不存在“和谐区间”.

(2)因为在[m，n]上单调递增，

所以[m，n]⊆(-∞，0)或[m，n]⊆(0，+∞)，则f(m)=m，f(n)=n.

所以m，n是方程的两个同号的实数根.

即方程a2x2-(a2+a)x+1=0有两个同号的实数根，注意到

只要Δ=(a2+a)2-4a2>0，解得a>1或a<-3.

所以

其中a>1或a<-3，所以当a=3时，n-m取最大值

(3)本小题答案不唯一，如可写出下列形式函数：y=a-x(a为常数)，为常数等.

例4　求的最值.

解题策略　有些数学问题虽然并未涉及新知识，比如本题给出的函数解析式，是次数较高的分式函数，初一看可能被吓倒，实际上只要仔细分析其结构特征，利用旧知识及常用的解题方法，其实是很容易解决的，让我们观察分母1+2x2+x4这个多项式，可化为(1+x2)2，这一结构可以联想到万能公式，则分子多项式就可以朝1-x2，2x方向变形.如果能发现函数解析式的分子、分母具有两侧对称的特点，可朝的方向变形，又能找到一种解题方法.

解法一　函数的定义域为R，将函数解析式变形：

由上面的代数结构联想万能公式.

令则θ≠2kπ+π(k∈Z)，从而-1≤sinθ≤1，

∴y

当sinθ=-1时，当时，

解法二　根据函数解析式中分子、分母多项式具有两侧对称的特点变形：

令则

则

当t=-2时，当t=8时，