单个工序结束时间推迟对平行工序数量的敏感性分析

在CPM网络计划中，当某一工序的结束时间从它的最早结束时间开始推迟，并且推迟到一定量后，它的后继工序中会有一些工序受其影响而迫使自身的最早开始时间推迟，即最早开始时间的值增大，但与它平行的工序的最早开始和最早结束时间不受影响。根据自由时差的定义及式（2-12），该工序的后继平行工序的自由时差可能会增大。若该工序结束时间推迟的量不同，它的后继平行工序中自由时差增大的工序数量可能也不同。同时，若某工序结束时间的推迟量超过总时差，根据总时差的定义及式（2-10），它的平行工序的总时差将会增大。

因此，单个工序最早结束时间推迟对其平行工序的数量敏感性分析包括两个方面：①分析当某工序的结束时间从最早结束时间开始推迟的量发生变化时，它的后继平行工序中自由时差增大的工序的数量会如何变化；②分析当某工序的结束时间从最早结束时间开始推迟的量发生变化时，它的平行工序中的总时差增大的工序数量会如何变化。

4.3.1.1　模型描述

设某一工序（u，v）的结束时间从最早结束时间开始的推迟量为自变量x，它的后继平行工序中自由时差增大的工序数为因变量y，它的平行工序中总时差增大的工序数为因变量y′，且工序（u，v）之外所有工序的工期不变，建立x和y、y′之间的函数关系模型的方法如下。

（1）计算工序（u，v）及其所有后继工序的自由时差，得关系式：

若FFuv=0，记为

（2）按式（4-9）从i=v开始计算节点v的后继节点的特征值：

（3）将特征值按从小到大排列，记为

D1*＜D2*＜…＜Dn*

（4）设Mi表示特征值Di*对应节点的紧前工序[不包括工序（u，v）的后继工序]数，1≤i≤n，按式（4-10）计算Ni：

若Mi包含了虚工序数，将虚工序数减去后代入式（4-10）。

（5）建立x和y、y′之间的函数关系模型：

其中，k=1，2，…，n-1且N表示工序（u，v）的所有平行工序数。

4.3.1.2　模型的正确性分析

该模型主要用于反映某工序的结束时间从最早结束时间开始推迟时，它的平行工序受影响的数量。当一个工序（i，j）的结束时间从最早结束时间开始的推迟量大于它的自由时差时，它的紧后工序（j，k）受影响而最早开始时间推迟，即ESjk增大，但它的平行工序的最早开始时间和最早结束时间不受影响。根据自由时差的定义及式（2-12），工序（i，j）的后继平行工序（r，j）的自由时差为

FFrj=ESjk-EFrj

因为ESjk增大，EFrj不变，所以FFrj增大。

假设工序（i，j）以外所有工序的工期不变，那么工序（j，k）的最早结束时间也会推迟，当推迟量大于自身自由时差后，它的紧后工序的最早开始时间也会推迟，同理，工序（i，j）的后继平行工序（s，k）的自由时差也会增大。以此类推，工序（i，j）的后继平行工序中会有越来越多的工序受影响而使自由时差增大。(www.xing528.com)

当工序（i，j）的结束时间从最早结束时间开始的推迟量超过自身总时差时，根据第2章中总时差的定义，总工期会增大，根据CPM网络时间参数计算法，任意节点t的LFt增大，由式（2-10），工序（i，j）的任意平行工序（s，t）总时差为

TFst=LFt-ESs-Tst

因为LFt增大，ESs和Tst不变，所以TFst增大。所以工序（i，j）的所有平行工序的总时差增大。

这就是单个工序对其平行工序的数量敏感性分析的基本原理。

根据以上原理进行模型的正确性分析。

（1）设某一指定工序（u，v）的结束时间从最早结束时间开始的推迟量为自变量x，它的后继平行工序中自由时差增大的工序数量为因变量y。根据自由时差的定义，工序使用自由时差不对后继工序产生影响，那么它的后继平行工序的自由时差也不会因此而增大。所以，若0≤x≤FFuv，y=0，式（4-7）和式（4-8）成立。

（2）工序的自由时差是相互独立的，一个工序对自身自由时差的使用不影响其他工序的自由时差，但当一个工序使用完自身的自由时差后，它的结束时间若再推迟就会影响它的紧后工序，直接表现就是影响其自由时差。因此，分析自由时差是建立x和y之间函数关系模型的重点。

根据Dijkstra算法原理，式（4-9）求出的特征值Di是节点u和它的后继各节点i之间的工序自由时差和的最小值。当x＞Di时，节点i的紧后工序的最早开始时间就会被迫推迟，那么该节点的紧前工序中工序（u，v）的后继平行工序的自由时差也将增大。

（3）将特征值按从小到大排列，记为

D1*＜D2*＜…＜Dn*

显然

D1*=FFuv

假设工序（u，v）的结束时间能无限推迟，则其推迟量x会依次达到D1*、D2*、…、Dn*。当Di*＜x＜Di+1*时，特征值为D1*、D2*、…、Di*的所有节点的紧后工序的最早开始时间都推迟，也就是说，这些节点的紧前工序中工序（u，v）的后继平行工序的自由时差都增大；当x＞Dn*时，工序（u，v）的所有后继工序的最早开始时间都推迟，也就是说工序（u，v）的所有后继平行工序的自由时差都增大。因此，随着x的增大，用叠加方法依次计算工序（u，v）的后继平行工序中自由时差增大的工序数会更为直观。根据4.3.1.1节中步骤（4）的假设，式（4-10）反映了这一叠加关系，并且不含没有实际意义的虚工序数。

（4）由式（4-9）、式（4-10）以及以上（1）、（2）、（3）的证明可知，式（4-11）反映了x和y之间的函数关系。

由上述证明可知，由4.3.1节中的方法建立的x和y之间的函数关系模型正确。

再根据该数量敏感性分析的基本原理可知，4.3.1节中的方法建立的x和y之间的函数关系模型正确。