著名不等式及其应用

（1）平均值不等式.

设a1，a2，…，an是n个正实数，记，分别称Hn、Gn、An、Qn为这n个正数的调和平均、几何平均、算术平均和平方平均，则有Hn≤Gn≤An≤Qn，当且仅当a1＝a2＝…＝an时取等号.

（2）柯西（Cauchy）不等式.

设ai，bi∈R（i＝1，2，…，n），则数组a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn不全为零时，当且仅当bi＝λai（i＝1，2，…，n，λ≠0）时取等号.

（3）赫尔德（Hǒlder）不等式.

设ai，bi，…，li∈R＋（i＝1，2，…，n），且α，β，…，λ∈R＋，且α＋β＋…＋λ＝1，则有，当且仅当2，…，n）时取等号.

特别当时，有

（4）切比雪夫（Chebyshev）不等式.

设两组实数a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn，若满足a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn或a1≥a2≥…≥an，b1≥b2≥…≥bn，则有

若满足a1≤a2≤…≤an，b1≥b2≥…≥bn，或a1≥a2≥…≥an，b1≤b2≤…≤bn，则有当且仅当a1＝a2＝…＝an，或b1＝b2＝…＝bn时以上两式均取等号.

（5）加权幂平均不等式.

设ai，pi∈R＋（i＝1，2，…，n），r，s∈R，且r＜s，则当且仅当a1＝a2＝…＝an时取等号.

（6）琴生（Jensen）不等式.(www.xing528.com)

设连续函数f（x）的定义域为（a，b），如果对于（a，b）内的任意两个数x1，x2，都有则称f（x）为（a，b）上的凸函数；若上式不等式反号，则称f（x）为（a，b）上的凹函数.

若f（x）为（a，b）上的凸函数，则对于任意x1，x2，…，xn∈（a，b）有

当且仅当x1＝x2＝…＝xn时取等号.

若为（a，b）上的凹函数，则对于任意x1，x2，…，xn∈（a，b）有当且仅当x1＝x2＝…＝xn时取等号.

（7）伯努利（Bernoulli）不等式.

设x＞-1，若α＜0或α＞-1，则（1＋x）α≥1＋αx；若0＜α＜1，则（1＋x）α≤1＋αx.当且仅当x＝0时，以上两式均取等号.

（8）排序不等式.

设两组实数a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn，满足a1≤a2≤…≤an，b1≤b2≤…≤bn，则有

a1bn＋a2bn-1＋…＋anb1（反序和）

≤a1bi1＋a2bi2＋…＋anbin（乱序和）

≤a1b1＋a2b2＋…＋anbn（同序和）

当且仅当a1＝a2＝…＝an，或b1＝b2＝…＝bn时取等号.