符号说明与问题描述简介

本书提出的考虑双边互惠偏好信息的稳定双边匹配问题描述如下：在研究的双边匹配问题中，一个甲方主体最多与一个乙方主体进行匹配，一个乙方主体最多与一个甲方主体进行匹配。甲方主体给出关于乙方主体的个体偏好序信息，乙方主体根据甲方主体给出的偏好序信息给出关于甲方主体的互惠偏好序信息；乙方主体给出关于甲方主体的个体偏好序信息，甲方主体根据乙方主体给出的偏好序信息给出关于乙方主体的互惠偏好序信息，双边匹配优化的目标是在考虑双边主体稳定性的情况下，获得双边主体总体满意度最大的匹配方案。

上述双边匹配问题的研究目标是：依据甲方主体对乙方主体的个体偏好序信息和互惠偏好序信息以及乙方主体对甲方主体的个体偏好序信息和互惠偏好序信息，提出一个有效的双边匹配方法，获得双边主体稳定和满意的匹配方案。

设甲方主体集合为A={A1，A2，…，Am}，其中Ai表示第i个甲方主体，i=1，2，…，m；乙方主体集合为B={B1，B2，…，Bn}，其中Bj表示第j个乙方主体，j=1，2，…，n。本书考虑的是一对一双边匹配问题，即一个甲方主体Ai最多与一个乙方主体进行匹配，而一个乙方主体Bj也最多与一个甲方主体进行匹配。

如图5.1所示，本书考虑双边互惠偏好的一对一双边匹配问题考虑了四方面的信息：甲方主体对乙方主体的个人偏好信息、甲方主体对乙方主体的互惠偏好信息、乙方主体对甲方主体的个人偏好信息和乙方主体对甲方主体的互惠偏好信息。其中‘’表示Ai对Bj的个体偏好，以及Bj对Ai的互惠偏好；‘’表示Bj对Ai的个体偏好，以及Ai对Bj的互惠偏好，‘——’表示Ai和Bj形成匹配对，所有‘——’连接的匹配对（Ai，Bj）构成一个匹配方案。

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图5.1　考虑双边互惠偏好信息的一对一双边匹配问题

下面给出考虑双边互惠偏好信息的双边匹配问题的数学描述。

令Ri=（ri1，ri2，…，rin）为甲方主体Ai给出的关于乙方主体的序值向量，其中rij是Ai给出的关于Bj的排序值，具体表示在n个乙方主体中，Ai把Bj排在第rij个位置，1≤rij≤n+1，rij越小，表示Ai认为Bj越优，反之亦然。不失一般性，rij=1表示Ai认为Bj是所有乙方主体中最优的；rij=n+1表示Ai认为Bj是所有乙方主体中最差的。令Sj=（s1j，s2j，…，smj）为乙方主体Bj给出的关于甲方主体的序值向量，其中sij表示Bj给出的关于Ai的排序值，具体表示在m个甲方主体中，Bj把Ai排在第sij个位置，1≤sij≤m+1，sij越小，表示Bj认为Ai越优，反之亦然。不失一般性，sij=1表示Bj认为Ai是所有甲方主体中最优的；sij=m+1表示Bj认为Ai是所有甲方主体中最差的。

进一步地，考虑双边主体之间存在的互惠偏好。双边主体的互惠偏好是通过一方主体对另外一方主体给出的偏好排序位置的敏感程度来度量的。令θi表示甲方主体Ai对于乙方主体给出的偏好排序位置的敏感度，并称θi为Ai的互惠因子，0≤θi≤1，θi越大，表示Ai对互惠偏好越敏感，反之亦然。特别地，θi=0表示Ai对互惠偏好不敏感，Ai在选择乙方主体时不考虑互惠偏好；θi=1表示Ai对互惠偏好极其敏感，在选择乙方主体时只考虑互惠偏好。令λj表示乙方主体Bj对甲方主体给出的偏好排序位置的敏感度，并称λj为Bj的互惠因子，0≤λj≤1，λj越大，表示Bj对互惠偏好越敏感，反之亦然。特别地，λj=0表示Bj对互惠偏好不敏感，Bj在选择甲方主体时不考虑互惠偏好；λj=1表示Bj对互惠偏好极其敏感，在选择甲方主体时只考虑互惠偏好。

本书要解决的问题是：依据甲方主体Ai给出的序值向量Ri、互惠因子θi、乙方主体Bj给出的序值向量Sj以及互惠因子λj，通过某种决策分析方法，获得双边匹配主体满意度尽可能高的稳定匹配方案。