球体接触点的位置关系

球是一个旋转体，它的表面称为球面，即球面与圆锥面同为旋转面．球有优良的特性，在探究圆锥曲线特征性质的过程中，可能会涉及与球有关的一些基础知识．为方便引用，在此对与球相切的位置关系情况进行系统的整理．

（1）球的切线和切面　与球面有且只有一个公共点的直线叫做球的切线，这个公共点叫做切点．球心与切点的连线垂直于切线．

设球O的半径为r，则球O与直线t相切⇔球心O到直线t的距离等于r．

与球面有且只有一个公共点的平面叫做球的切面，这个公共点叫做切点．球心与切点的连线垂直于切面．

设球O的半径为r，则球O与平面M相切⇔球心O到平面M的距离等于r．

如果一个平面与一个球相切，那么这个平面内经过切点的任一直线都与这个球相切．

从球外一点引球的切线，则所有切点组成的集合是一个球小圆，且这点与球心的连线垂直于这个球小圆所在的平面．

从球外一点引球的切线，则所有的切线长（这点与切点之间的线段长）相等．

（2）圆锥面与球相切　如果圆锥面的所有母线都与一个球相切，那么就说这个圆锥面与球相切．

圆锥面与球相切所得的切点全体组成的集合是一个球小圆，圆锥面的顶点与球心的连线垂直于这个球小圆所在的平面．

设球O的半径为r，则

球O与圆锥面C相切⇔球心O到圆锥面C各母线的距离都等于r．

上述这些与球相切的位置关系，与圆的相关知识极其类似．与球相切的位置关系的有关性质，可联系圆的切线性质进行比较、分析和推导．

在明确了上面（1）（2）所述与球相切的位置关系的有关概念和结论、并能正确理解的基础上，我们来讨论下面的问题．

例1　已知：圆锥面C的顶点为A，轴为l，不经过顶点A的平面M与圆锥面C相截．

求作：球O，使球O与圆锥面C及平面M都相切．

分析　由球O与圆锥面C相切的充要条件，可知球心O一定在圆锥面C的轴l上，且球O的半径r应等于点O到母线的距离；而由球O与平面M相切，可知点O到平面M的距离也等于r．另外还知，点O到平面M的距离可用从点O所引的平面M的垂线段表示，这条线段在经过轴l且与平面M垂直的平面内．于是可先作一个过轴l且垂直于平面M的平面S，将求作球O的问题转化为基于平面S上的作图问题．

图1-3(www.xing528.com)

作法　如图1-3所示．（1）过轴l作一个平面S，并且使平面S与平面M垂直．记平面S与圆锥面C的两条交线为m1，m2，与平面M的交线为l0，直线l0与直线m1，l的交点分别为D，L．

（2）在平面S内，作∠ADL的平分线，设它与直线l的交点为O．

（3）在平面S内，过点O作垂直于m1的直线，设垂足为K．

（4）在圆锥面C内，以点O为球心、线段OK的长为半径长，作球O．

球O是与圆锥面C和平面M都相切的球．

说明　经过轴l且与平面M垂直的平面S，可由轴l以及它在平面M的射影来确定．经过圆锥面C的轴l的平面（如平面S）可简称轴截面．如本例那样通过作出圆锥面C的一个轴截面，将立体图形中的问题转化为平面图形中的问题，是一种常用的“降维”方法．

在图1-3中，设线段OK的长为r，根据作法可知点O到直线l0的距离等于r；又由轴截面S垂直于平面M，可得点O到平面M的距离等于点O到直线l0的距离即等于r．再由点O在轴l上，点O到母线m1的距离等于r，可知点O到圆锥面C任一母线的距离都等于r，因此球O与圆锥面C和平面M都相切．一般地，与圆锥面C及平面M都相切的球称为Dandelin球．

如果直线l0与m2也相交，即直线l0与m2不平行（此时轴l与平面M所成角α不等于圆锥面母线与轴l的夹角θ），那么还可再作一个Dandelin球．新作的这个球O′的位置相对于球O的位置，可能是在平面M另一侧且同在圆锥面C一支内，也可能是在平面M同一侧但在圆锥面C另一支内．所以，当α≠θ时可作两个Dandelin球，简称Dandelin双球．

对于线段的长度，以下用符号语言表示，如线段AB的长度就表示为｜AB｜．

例2如图1-4所示，已知圆锥面C的顶点为A，母线与轴l的夹角为θ；截平面M不经过点A，球O与圆锥面C和平面M都相切，⊙E是球O与圆锥面C的切点圆，点F是球O与平面M的切点，点P在平面M与圆锥面C相截所得的圆锥曲线上．设球O的半径长为r，｜AP｜＝p，求｜PF｜．

图1-4

分析　根据已知条件，可知直线AP是圆锥面C的一条母线，它与⊙E一定相交，设交点为G，则｜AP｜＝｜PG｜＋｜AG｜．又知直线AP和PF都是球O的切线，于是，可建立起线段PF与AP之间、线段AG与r，θ之间的联系．

解　因为点P在圆锥面C上，所以直线AP是圆锥面C的母线．由球O与圆锥面C相切，可知AP是球O的切线．又知⊙E是球O与圆锥面C相切所得的切点圆，设AP与⊙E交于点G，则G是AP与球O的切点．

因为点P在平面M上，点F是球O与平面M相切的切点，所以PF是球O的切线，F是切点．

所以，线段PG和PF是从点P向球O所引的两条切线段，得｜PF｜＝｜PG｜．

连接AO，GO．由点G是AP与球O的切点，可知OG⊥AP，垂足为点G．

说明　在本题的解答过程中，确定“｜PF｜＝｜PG｜”是一个关键．这两条线段的长度相等，是利用一个球与一个圆锥面及截平面都相切的有关性质得到的．注意到点P在平面M与圆锥面C相截所得的截线上，可见这两条线段的长度相等是圆锥曲线上的点的本质特征反映．