椭圆的标准方程及其坐标系建立

在平面M内，已知椭圆Γ的两个焦点分别为F1，F2，｜F1F2｜＝2c，定长m＝2a，其中0＜c＜a．

图2-1

以线段F1F2所在的直线为x轴、的指向为x轴正向，且以线段F1F2的中点O为原点，建立平面直角坐标系xOy，如图2-1所示．

在平面直角坐标系xOy中，F1（c，0），F2（－c，0）．

设P（x，y）是椭圆Γ上任意一点，则

即．

两边平方，整理得．

两边再平方，得a2（x－c）2＋a2y2＝（a2－cx）2．

再整理，得

（a2－c2）x2＋a2y2＝a2（a2－c2）．

∵0＜c＜a，∴a2－c2＞0．

设a2－c2＝b2，且b＞0，得

b2x2＋a2y2＝a2b2，

可化为

方程①称为椭圆的标准方程，其中b2＝a2－c2．这个方程所表示的椭圆Γ，它的两个焦点在x轴上，焦点是F1（c，0）和F2（－c，0）．

说明　我们通过建立平面直角坐标系xOy，利用椭圆的特征性质导出了椭圆的标准方程．这个坐标系中的x轴，其实就是第1章中圆锥面C的轴l在平面M内的射影l0，椭圆的两个焦点都在x轴上，即在l0上．

椭圆两个焦点的距离叫做焦距．

本节设椭圆的焦距｜F1F2｜＝2c，定长m＝2a，联系圆锥曲线统一性质中这个椭圆的e（这时0＜e＜1），可知｜F1F2｜＝me，即2a·e＝2c，得c＝ae．

在探求椭圆方程时，如果以线段F1F2所在的直线为y轴、线段F1F2的中点O为原点，相应地建立平面直角坐标系xOy，使F1（0，c），F2（0，－c），那么可导出椭圆的方程为

方程②同样也是椭圆的标准方程．