如何引导学生选择有效的数学思想方法

数学思想方法是联系各类知识的纽带，是数学概念、理论的本质所在，是处理数学问题的指导思想和基本策略，是知识转化为能力的桥梁。学生在完成作业的过程中，灵活运用数学思想方法可以提高作业有效性。在高中阶段，完成数学作业的主要思想方法为：整体化思想、模式识别思想、转化思想、辩证思维、媒介过渡思想、正难则反数学思想。

（一）整体化思想

整体化思想，要求学生从整体上对数学问题进行观察、分析、处理，从全局把握条件和结论间的联系，抓住问题的本质，使问题变得简洁、明晰，从中发现解决问题的办法。整体化策略通常在解题中表现为多向立体思维、思路探索者的“及时反馈—评价—调控”、解题后进行全面反思等方法。例如：

作业24：设a-b=2+，b-c=2-，求a2+b2+c2-ab-bc-ac的值。

由此题容易想到，求出a，b，c，代入求解，但求出a，b，c不容易。若从整体出发，观察a-c=4，再对a2+b2+c2-ab-bc-ac变形即可解决。

（二）模式识别思想

模式识别策略的关键在于会辨别题目的类型，使得题目与已有知识经验产生联系。不同的问题可能与不同的模式相联系，同一问题也可能有不同的模式。模式的形成主要在解决问题的过程中，根据问题的特征逐步总结出来的。模式具有规律性，在新问题情境中能正确识别和辨认，是运用这一策略的前提。此策略的范围包括对已有定理、公式的辨别，对已有解题规律、方法的辨析，对类似问题方法的迁移等。例如：

作业25：证明函数f（x）=x3在实数域内是增函数。

解决问题的方法有两个模式，一是定义法，二是利用导数法。

（三）转化思想

转化思想又称为化归思想，指当问题难以下手时，通过转化过程将问题转化为一个比较熟悉、比较容易解决的问题，以达到解决问题的目的。数学问题中最典型的转换是表达形式的等价转化或将问题分解为几个小问题的转化。匈牙利著名数学家露莎认为，数学家的思维过程是很典型的，他们往往不是对问题进行正面的进攻，而是不断地将它变形，直至转换为能够解决的问题。例如：(www.xing528.com)

作业26：函数f（x）=ax5+bx3+x+5，x∈（-∞，+∞），若f（-3）=7，求f（3）。

此函数不是奇函数，也不是偶函数，无法直接利用函数的奇偶性解决这一问题。不过可以转化，需要引入一个奇函数g（x）=f（x）-5=ax5+bx3+x，转换为奇函数就可以解决问题。

（四）辩证思维

辩证思维策略是指运用辩证思维的观点和方法思考、解决数学问题的策略。此策略主要体现在以简驭繁、动静转换、常变转换、数形结合、分合相辅及整体与局部的转换等变换方式上。例如：

作业27：已知数列｛an｝的首项，且满足求例如数列an的通项公式。

分析：an与an+1的关系不好确定，但为常数，所以数列可以看作是以3为首项，5为公差的等差数列，所以数列an的通项公式求得。

（五）媒介过渡思想

媒介过渡，指在解决数学问题的过程中，可通过人为地设置一些中间媒介元素，作为沟通题设和结论的探索桥梁以解决问题的策略。此方法体现为构造辅助元素（辅助线、角、面、体、函数等）方法（包括常用的换元法、参数法等）、类比法、设置作为子问题的一个或多个中间结论的方法，以及条件和结论两边同时出发正逆推结合的两边夹等。

（六）正难则反数学思想

正难则反，是指在解决问题的过程中，当从正面思考难以解决或较为复杂的问题时，可以转向考虑问题的反面；或直接解决问题较为困难时，可以考虑间接解决问题的方法。如反例法、反证法、排除法以及数学公式、定理的逆用等。