概率论初步：必然事件、不可能事件和随机事件的概率

随机事件的概率指对随机事件出现的可能性大小的数值度量．必然事件:在一定条件下,必然发生的事件．不可能事件:在一定条件下,不可能发生的事件．随机事件:在一定条件下,可能发生也可能不发生的事件．一次随机试验的每一个可能出现的结果叫作随机试验的一个基本事件．一次随机试验的所有基本事件构成的集合叫作随机试验的样本空间,随机事件指的是样本空间的子集．如果一次随机试验的基本事件的个数是有限个,并且每一个基本事件发生的可能性相同,则称随机事件发生的概率模型为古典概型,其计算方法是:

P(A)＝．在n次试验中,事件A发生了m次,则事件A在这n次试验中出现的频率为,记f(A)＝．显然0≤f(A)≤1,频率可以作为概率的估计值,也叫作经验概率．

方法简述

1．利用枚举法求概率

把随机事件中所包含的基本事件个数一一罗列,从而求得概率．

例1　骰子是一种正方体形状的玩具,在正方体的各个面上分别标有数字1,2,3,4,5,6,将骰子先后抛掷2次,其中向上的点数之积是12的概率是多少?

点拨　样本空间中基本事件的个数是两次抛掷骰子的点数所有可能性,根据分步原则,第一次有6种可能,第二次也有6种可能,由乘法原理知共有36种可能性．若要点数乘积为12,则可以将所有情况一一罗列,当然以第一次的点数为分类标准,第一次可以是2,3,4,6,所以有4种可能性,最后由古典概型得到随机事件的概率．

解答　样本空间中所含的基本事件个数:

分两步,第一步抛掷骰子一次:6种可能结果;第二步抛掷骰子一次:6种可能结果．

所以,样本空间中所含的基本事件个数:6×6＝36(种)．

随机事件A中所包含的基本事件个数:

因为抛掷有先后,所以抛掷的点数有序:(3,4),(4,3),(2,6),(6,2)共4种可能性．

所以,随机事件A发生的概率为

反思　枚举法是一种原始的、有效的计数方法,比较常用,在枚举的时候要按照某一种规则或规律进行,这样才可以做到不多不漏,比较灵活．

2．利用化归思想求概率

例2　某产品有3个次品,7个正品,每次取1个测试,取后不放回,求:

(1)恰好到第5次3个次品全部被测试出的概率;

(2)恰好到第k次3个次品全部被测试出的概率f (k)的最大值与最小值．

点拨　给这10个产品编号,1,2,3号为次品,4—10号为正品,那么恰好到第5次3个次品全部被测试出的概率即为对10个产品进行排队,第5个恰好是次品,且另外两个次品分别在1—4号这4个位置中的两个．同样,恰好到第k次3个次品全部被测试出的概率即为对10个产品进行排队,第k个恰好是次品,且另外两个次品分别在1—(k－1)号这(k－1)个位置中的两个．把问题转化成排列问题解决．

解答　(1)给这10个产品编号,1,2,3号为次品,4—10号为正品,那么恰好到第5次3个次品全部被测试出的概率即为对10个产品进行排队,第5个恰好是次品,且另外两个次品分别在1—4号这4个位置中的两个．

第一步:5号位放一个次品,即;

第二步:把另两个次品有序放入1—4号位,即;

第三步:把剩下的7个正品有序放入剩下的7个位置,即;

所有的基本事件的个数为:10个产品有序放入10个位置,即．

所以随机事件A:恰好到第5次3个次品全部被测试出的概率为:

(2)给这10个产品编号,1,2,3号为次品,4—10号为正品,那么恰好到第k次3个次品全部被测试出的概率即为对10个产品进行排队,第k个恰好是次品,且另外两个次品分别在1—(k－1)号这(k－1)个位置中的两个．所以3≤k≤10,k∈N．

第一步:k号位放一个次品,即;

第二步:把另两个次品有序放入1—(k－1)号位,即;

第三步:把剩下的7个正品有序放入剩下的7个位置,即;

所有的基本事件的个数为:10个产品有序放入10个位置,即．

所以随机事件恰好到第k次3个次品全部被测试出的概率为:

因为3≤k≤10,k∈N,所以f(k)在[3,10](k∈N)上单调递增．

当k＝3时,f(k)min＝;

当k＝10时,f(k)max＝．

反思　把问题转化为排列问题主要是为了构造等可能事件,即古典概型,因为第5次测试出最后一个次品包含着哪一个次品被最后测试出,所以是一个有序的问题．

3．灵活运用排列组合的方法求概率

有的时候,等可能事件的概率问题可以看成是两个排列组合的问题,一个是没有条件限制的,一个是有条件限制的,所以活用排列组合中的思想方法对解决等可能事件的概率问题是非常有帮助的．

例3　一只猴子随机敲击只有26个小写英文字母的练习键盘．若每敲1次在屏幕上出现一个字母,它连续敲击10次,屏幕上的10个字母依次排成一行,则出现单词“monkey”的概率为_______(结果用数值表示)．

点拨　对于样本空间中的基本事件个数,将整个事件分10步完成,每一步都在26个字母中挑选一个,所以由乘法原理知,共有个基本事件．对于随机事件出现单词“monkey”,则利用捆绑法,把这6个字母按固定顺序捆在一起,看成一个字母,然后插入由剩下4个字母的排列即可．而剩下4个字母的排列与之前的做法相同,即种可能性,而4个字母产生5个空档,只需选一个空档将“monkey”插入即可．

解答　样本空间中的基本事件个数:

将整个事件分10步完成,每一步都在26个字母中挑选一个,所以每一步均有种选择,

所以样本空间中共有个基本事件．

随机事件A:10个字母依次排成一行,则出现单词“monkey”．

第一步:把这6个字母捆在一起,并且顺序不变;

第二步:再选择4个字母排好,即;

第三步:将第5个字母(其中一个字母是捆在一起的“monkey”)插入,即．

所以,随机事件A的概率为:

所以,出现单词“monkey”的概率为1．62×10－8．

反思　古典概型往往就是两个排列组合问题,所以活用排列组合中的方法、思想有助于求解古典概型的问题．

4．利用分类讨论的思想求概率

例4　高三某班有甲、乙两个学习小组,每组都有10名同学,其中甲组有4名女同学和6名男同学;乙组有6名女同学和4名男同学．现采用分层抽样分别从甲、乙两组中等可能的各抽2名同学进行学习情况调查．求:

(1)从甲组抽取的同学中恰有1名女同学的概率;

(2)抽取的4名同学中恰有2名男同学的概率．

点拨　随机事件“抽取的4名同学中恰有2名男同学的概率”的关键在于2名男同学来自于哪一个组别,所以以男生的出处作为分类标准进行分类,①甲抽2男,乙抽2女;②甲、乙两组各抽1男1女;③甲抽2女,乙抽2男．

解答　(1)

(2)满足条件的有三类情况:

①甲抽2男,乙抽2女,即

②甲、乙两组各抽1男1女,即

③甲抽2女,乙抽2男,即

所以,则

反思　当随机事件的基本事件个数需要用加法原理计算的时候,就会涉及分类讨论思想,关键还是在于分类标准的确定,这是比较灵活的．

5．利用对立事件求随机事件的概率．

有的时候随机事件A中包含的基本事件情况很复杂,这时不妨考虑其对立事件,利用P(A)＋P()＝1来解决问题．

例5　某校15名学生组成该校“科技创新周”志愿服务队(简称“科服队”),他们参加活动的有关数据统计如下表所示:

(1)从“科服队”中任选3人,使这3人参加活动次数各不相同,这样的选法共有多少种?

(2)从“科服队”中任选2人,求这2人参加活动次数之和大于3的概率．

点拨　从分析可以看出,随机事件“从‘科服队’中任选2人,求这2人参加活动次数之和大于3”包含的情况比较多:1次和3次;2次和2次;2次和3次;3次和3次．但它的对立面的情况就不那么复杂了:两个人都只参加了一次活动;两个人一个参加了一次活动,一个参加了两次活动．所以,不妨从其对立事件入手,利用P(A)＋P()＝1来解决问题．

解答　(1)在参加活动次数为1,2,3的三组学生中各取一个人,(www.xing528.com)

则选法种数为

故3人参加活动次数各不相同的选法共有96种．

(2)2人参加活动次数之和不大于3的概率为

故他们参加活动次数之和大于3的概率为

所以,2人参加活动次数之和大于3的概率为．

反思　当随机事件所包含的情况很复杂的时候,不妨考虑其对立事件,利用P(A)＋P()＝1来解决问题．

6．经验概率的求法

在n次试验中,事件A发生了m次,则事件A在这n次试验中出现的频率为,记f(A)＝．显然0≤f(A)≤1,频率可以作为概率的估计值,也叫作经验概率．

例6　某出版社对其发行的杂志的写作风格进行了5次“读者问卷调查”,其结果如下表所示:

(1)计算表中的各个频率(用数值表示);

(2)读者对该杂志满意的概率P(A)约是多少?

点拨　在n次试验中,事件A发生了m次,则事件A在这n次试验中出现的频率为

解答　(1)

(2)估计读者的满意率为99．8%．

反思　频率是一种经验概率,可以估计概率．在大量实验中,事件出现的频率与概率很接近,当试验次数无限增大时,事件出现的频率与事件出现的概率相差较大的可能性趋向于0,所以随机事件出现的可能性是随机事件本身所固有的,是不随人的意志转移的．要想提高经验概率的可信度,可以通过增加“问卷调查”的次数来实现．

易错解读

例7　将一枚硬币抛掷3次,只有一次正面向上的概率是_________．

点拨　4种结果,0次正面向上、1次正面向上、2次正面向上、3次正面向上．

所以概率为．其实该种解法中这4种结果并非等可能发生的,1个正面向上其实包含着正反反,反正反,反反正．

解答　．

易错点　构造古典概型时要注意基本事件发生的等可能．

例8　甲、乙两人玩猜数字游戏,先由甲心中想一个数字,记为a,再由乙猜想甲刚才想的数字,把乙猜的数字记为b,且,若|a－b|≤1,则称甲、乙“心有灵犀”．现找两个人玩这个游戏,得出他们“心有灵犀”的概率为_________．

解答　样本空间中的基本事件总数:

要使得|a－b|≤1,则a－b＝－1,0,1．

①若a－b＝－1,共有9种可能性;

②若a－b＝0,共有10种可能性;

③若a－b＝1,共有9种可能性．

所以甲、乙“心有灵犀”共有28种可能性．

所以,他们“心有灵犀”的概率为．

易错点　分类要完整．

例9　某艺校在一天的6节课中随机安排语文、数学、外语三门文化课和其他三门艺术课各1节,则在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为(　)．

A．　B．　C．　D．

解答　相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课,说明相邻两节文化课之间间隔0节或1节艺术课．

①相邻两节文化课间均为零节艺术课,即三节文化课相邻,利用捆绑法有

②只有1组相邻文化课之间有1节艺术课,选1节艺术课与三节文化课捆在一起,有

③两组文化课之间均有一节艺术课,即文化课与艺术课间隔排列,有

所以总共有:144＋216＋72＝432(种)不同排法．

样本空间中的基本事件总数为:＝720．

所以,在课表上的相邻两节文化课之间最多间隔1节艺术课的概率为．故选A．

易错点　用好排列组合问题的思想与方法．

经典训练

1．甲、乙、丙三人同在某公司上班,若该公司规定,每位职工可以在每周七天中任选两天

休息(如选定周一、周三),以后不再改动,则他们选定的两个休息日相同的概率是________．

2．已知集合A＝{z|z＝1＋i＋i2＋…＋in,n∈N∗},B＝{ω|ω＝z1·z2,z1,z2∈A},(z1可以等于z2),从集合B中任取一元素,则该元素的模为的概率为________．

3．4名女生和2名男生参加文艺汇演,每人表演一个节目,则2名男生的节目不能排在一起(即演出的序号不相连)的概率为________．

4．有一批种子,对于一颗种子来说,它可能1天发芽,也可能2天发芽,下表表示不同发芽天数的种子数的记录:

则发芽天数超过4天的频率是_________(结果精确到0．01)．

5．一药物公司试验一种降低胆固醇的新药,试验结果如下:

则使用该药物后胆固醇没有降低的频率是_________．

6．在9件不同的产品中有两件不合格的产品,现再取n件不同的合格品,并在这n＋9件产品中随机选出7件,要求两件不合格产品均不被选到的概率大于0．5,则n的最小值为________．

7．一个不透明的袋中装有5个白球、4个红球(9个球除颜色外其余完全相同),经充分混合后,从袋中随机摸出3个球,则摸出的3个球中至少有一个是白球的概率为________．

8．在某地的奥运火炬传递活动中,有编号为1,2,3,…,18的18名火炬手．若从中任选3人,则选出的火炬手的编号能组成以2为公比的等比数列的概率为_________．

9．袋中装有12个大小相同颜色不同的球,其中5个白球,7个黑球,求:

(1)任取一球为白球的概率;

(2)任取两个都是黑球的概率;

(3)任取二球,其中一个为白球,一个为黑球的概率;

(4)把球随机一个一个摸出来,第七个摸出的是白球的概率．

10．把5个不同的球任意放入6个不同的盒子中,每个球进入每个盒子的可能性相同．求:

(1)指定的5个盒子中各有一球(事件A)的概率;

(2)没有两个球在同一盒子中(事件B)的概率．

11．6个房间安排4个旅游者,每人可进住任一房间,且进住房间是等可能的(每个房间可入住多人)．求:

(1)指定的某四个房间各住1人的概率;

(2)恰有四个房间各住1人的概率;

(3)指定的某房间有2人的概率;

(4)指定的两个房间各有2人的概率．

12．从男生和女生共36人的班级中任意选出2人去完成某项任务,这里任何人当选的机会都是相同的,如果选出的2人有相同性别的概率是,求这个班级中的男生,女生各有多少人?