风险调整久期模型-详解4.2版本

4.2.1　模型背景

考虑一个T年到期、面值为F的公司息票债券。假设债券是不可赎回、不可转换的，并且没有偿债基金。在任何时间t，1≤t≤T，当息票Ct到期时，如果公司没有违约（概率为1-pt），债券持有人将收到承诺的金额Ct+Vt，Vt是在支付Ct到期前的瞬间债券的市场价值（不包含息票Ct的价值）。注意（1-pt）是在时间t公司生存的条件概率。这意味着在时间t公司生存的无条件概率为：

或者在时间t违约的无条件概率为：

如果公司在时间t违约（以概率pt），债券持有人将收到金额Ct+Vt的一部分：αt（Ct+Vt）。在双方达成协议后，恢复数量αt（Ct+Vt）将在延期S年后支付（即在第t+S年而不是t年）。对于违约概率与无风险利率之间的关系没有结论性的经验证据时，我们假设两者之间是统计独立的。我们进一步假设资本市场是完全无摩擦的，对卖空没有限制。

Fooladi、Roberts、Skinner将他们的经风险调整的久期模型用于风险厌恶型的投资者时，假设确定性等价因子（CE）是单调递减的，比如。然后，他们给初始的CE因子（q1）指定一个特定的值，计算出所有的CE系数。这样的CE系数结构既没有理论上也没有经验上的依据。风险厌恶型投资者的CE因子必然与恢复率以及违约率有关。给风险厌恶型的投资者指定一个效用函数可以使我们更好地理解公司债券定价，以及不同信用等级债券之间的收益率差距和久期测度，是怎样随着违约率和恢复率的变化而变化的。

假设所有投资者都是风险厌恶型的、有着对数效用函数的预期效用最大化者，初始的财富水平是外生决定的。之所以选择对数效用函数有三个理由。首先，对数效用函数在最优增长文献中有很好的特性。凯利（1956）、布赖曼（1961）证明，最大化财富的对数会得到这样一个结果，即渐进地达到最大化财富的增长率。他们在连续时间框架下证明了以上关系。哈克逊（1990）在离散时间框架下证明，有着对数偏好的投资者所作出的最优化投资决策是与最大化财富的平均增长率一致的。第二，对数偏好的假定可以让我们在模型中使用Cox、Ingersoll和Ross的关于无风险利率的随机过程模型。Cox、Ingersoll和Ross对于投资者的偏好作出了与我们同样的假设。最后，正如在后面我们将看到的，使用对数效用函数可得到一个易于处理的、符合直觉的表达式。

在上面的假定下，一个代表性的投资者愿意用在t-1时期的确定性的现值PVCEt-1来代替在时期t债券所产生的风险性的现金流（Ct+Vt）。^[2]即：

上式中Qt是相对于两种类型风险的确定性等价（CE）现值因子：违约风险和因无风险利率的期限结构的不确定性所引起的风险。

我们进一步假定所有的投资者对这些参数的变化过程以及无风险利率的期限结构都有着相同的信念。风险厌恶型的代表性投资者认为在t时期公司债券所承诺的风险性现金流的预期现值［PV（Ct+Vt）］与在时期t-1收到的确定性现值（PVCEt-1）是没有区别的，因为这两者提供了相同的效用水平。

上式中，Et-1是代表性的投资者在时期t-1根据违约风险和利率期限结构的不确定性所形成的预期。

因为我们假设代表性的投资者有着对数效用函数，因此有：

从方程（4.3）可得到：

上式中，

μ［τ，h］=，即在时间0预期的，从时间τ开始到时间h结束的未来即期利率；

r［τ，h］为从时间τ开始到时间h结束的即期无风险利率（不确定的）；

f（r［τ，h］）为r［τ，h］的概率分布函数。

从方程（4.4）和方程（4.1）可得到代表性投资者的确定性等价现值因子。

代表性的投资者会让在t-1时期（息票Ct-1支付后的瞬间）的债券价格等于它的确定性等价现值数量，即：

4.2.2　债券定价方程

将方程（4.6）给出的结果进行反向推导，我们可得到代表性的投资者的债券定价方程。为此，我们假定在任何时刻都知道参数未来的预期值。从到期前一期T-1开始，投资者会令：

因为到期时债券会支付面值和最后一期的息票，因此有：

在T-2时期，投资者会把公司债券定价为：

根据方程（4.7）替代VT-1，得到：

持续以上过程直到第0期，可得到：

用方程（4.5）代替Qt，并进行整理，可得到有着对数效用函数的风险厌恶型的代表性投资者对债券的定价方程。

注意，是有着对数效用函数的投资者在时间j=1，…，t，收到的风险性现金流的确定性等价因子（qj）。时间j收到的确定性等价数量在时间j-1的现值可以用合适的利率预期值来计算。公司以概率1-pj生存，债券在时间j时的确定性等价值是在相应的一期利率μ［j-1，j］下进行贴现的。然而，在时间j公司以概率pj违约，恢复的确定性等价数量在时间j+S才能收到，从而要在相应的S+1期利率μ［j-1，j+S］下贴现到时间j-1。

下面我们根据即期利率的期限结构推导出债券定价方程。注意，如果投资者预期不存在套利机会，那么：

这意味着：

债券定价方程（4.8）可用即期利率期限结构表示如下：(https://www.xing528.com)

4.2.3　公司债券收益的期限结构

令Y［t，t-1］表示代表性的投资者，在时间0预期的、在时间t-1到时间t持有前面所讨论的公司债券所要求的风险性收益率，那么，在时间0公司债券的价值可以记为：

如果对于投资者来说，在任何时候方程（4.8）中债券的确定性等价值与方程（4.11）中的值是一致，那么有下面的方程：

或者，我们可以写成：

方程（4.12）是公司债券的持有者所要求的在时间t-1至t的预期收益率。由方程（4.12）和方程（4.9）可得到在时间t-1至时间t持有公司债券所要求的预期收益率的另一种表达式：

方程（4.13）提供了对风险性收益率的一种直觉性描述。默顿（1974）证明，零息票违约债券是相应的无风险零息债券和对公司资产的欧洲看跌期权的空头头寸的组合。我们认为，有违约风险的息票债券是相应的无风险的息票债券与一系列对公司资产的欧洲看跌期权的空头头寸的组合。其中，每一个看跌期权的到期日为息票的支付日。一旦其中的某一个期权被执行，所有其他的期权就被踢出。换一种方式说，与时间t相对应的每一个期权的存在是以公司到t时间仍然生存为条件的。^[3]

给定含违约风险的息票债券的这些特征，方程（4.13）右边的第一项是投资者持有组合中无风险部分所要求的在时间t-1至时间t的收益率。方程（4.13）右边的第二项是投资者持有与时间t相对应的欧洲看跌期权的空头头寸所要求的补偿。如果期权在t时间被执行（公司违约），债券持有人将收到公司债券在t时间的价值的一部分（αt），但是，这个数量只能在S期以后才能收到。从而，期权被执行的概率为pt，投资者对持有看跌期权的空头头寸所要求的收益率包括两部分，一部分是因支付是在S期后进行所要求的无风险收益率；另一部分是因恢复率小1，从而投资者所要求的额外补偿。

所以，承诺的一美元现金流的看跌期权补偿用贴现因子exp{-Sμ［t，t+S］}（αt）表示。这意味着，为补偿持有与时间t相对应的看跌期权空头头寸所带来的损失，债券持有人所要求的预期补偿为pt［Sμ［t，t+S］-ln（αt）］。该补偿是在持有类似的无风险债券所要求的收益率之外的。这证明了由对数效用函数所隐含的确定性等价因子，怎样得到债券持有人在t-1到t这段时间所要求的预期收益率。

Fooladi、Roberts、Skinner（1997）在他们的模型中假设，并给初始的确定性等价因子（CE）指定一个特定的值计算出一系列的CE系数。前面已经提到，这样处理既没理论上也没有经验上的基础。一般来说，对于预期在未来时间t支付的不确定性现金流，风险厌恶型的投资者的CE因子既与恢复率又与违约概率有关。对数效用函数所隐含的CE因子的确是这样。因此，风险厌恶型投资者是对数偏好的假定，可以使我们更好地理解公司债券的定价、不同信用等级公司债券收益率的差距以及久期测度是怎样随着违约率和恢复率的变化而变化的。这使我们无需给模型参数指定一个特定的值，也可以方便地应用模型。

注意，如果违约概率pt为零，债券是无风险的，那么没有必要对公司债券的投资者进行风险补偿，并且：

如果公司债券的违约概率为正值，但是恢复是完全并且立即的（αt=1，S=0），同样没有必要对公司债券的投资者进行风险补偿［因为S=0，ln（αt）=0］。但是，如果公司的违约概率为1（pt=1），投资者要求的收益率将是：

或者：

这意味着预期在时间t从公司债券收到的一美元债券的现值等价于在时间S+t确定性地收到的一美元的预期现值的一部分。

接下来，我们推导公司债券的收益率的即期期限结构。为此，我们把方程（4.11）重写作：

如果在任何时候，方程（4.10）中投资者的确定性等价值与方程（4.14）中的确定性等价值者是一致的，那么下面的等式成立：

上式也可以写成：

因此，持有公司债券到时间t为止的投资者所要求的年收益率是直到t为止每年持有公司债券所要求的平均违约补偿，加上相应的无风险债券的收益率。方程（4.15）意味着，当违约概率增加时，投资于公司债券风险会更大，投资者所要求的收益率也更高。只要恢复率小于1，或者延迟期间的预期即期利率为正，当债券的违约风险增加时，投资者所要求的收益率就会上升。当恢复率增加时，一旦违约，投资者收到的数量也会增加，从而，投资者所要求的收益率会下降。

当延迟时间增加时，发生违约时投资者收到的恢复数量的预期现值将会减少，投资者所要求的收益率就会增加。类似地，延迟期间的预期即期利率上升，恢复数量的预期现值会减少，从而，投资者就会要求更高的收益率。延迟期间的预期收益率增加1%，就会引起投资者所要求的收益率增加百分之，我们记：

那么为发生违约时预期的平均延迟时间。只要违约概率和延迟时间为正值，对于延迟期间的预期即期收益率的增加，投资者会要求更高的收益率。

4.2.4　违约债券的久期测度

在本部分我们推导出一个经违约风险调整的公司债券久期测度方法。事实上，本节的经风险调整的久期测度是免疫久期。当利率是连续复合利率时，给定债券定价方程（4.10），我们用标准的价格弹性的久期定义：

对上式进行整理后可得到风险调整的久期测度：

将方程（4.15）中的经风险调整的收益率代入方程（4.16）得：

前面已提到，违约息票债券等价于相应的无风险息票债券与一系列的对公司资产的欧洲看跌期权的空头头寸的组合。每一个与息票Ct相对应的期权是以所有前面的期权未被执行为条件的，息票延期S年支付的概率为pt，或者说延期支付的预期时间为Spt。因此，方程（4.17）中第一个方括号中的项表示公司债券的费希尔-魏尔久期（1971），该久期没有对风险进行调整，是相对于风险利率的期限结构的变化计算的。方程（4.17）中的第二个方括号中的项是由所有的对公司资产的条件欧洲看跌期权引起的延期久期。

这意味着，对于有违约风险的债券来说，经风险调整的久期总是大于未经风险调整的费希尔-魏尔久期。因此，在本章的假设下，除非债券是无风险的，未经风险调整的久期不能对利率变化进行免疫。

因为无风险债券的违约概率为零，因此有：

由方程（4.15）可得到Y［0，t］=μ［0，t］，方程（4.17）中风险调整的久期就转化为非平坦的无风险利率期限结构的普通的Fisher-Weil久期：

这表明未经风险调整的费希尔-魏尔久期是方程（4.17）中给出的经风险调整的久期的一种特殊情况，因此，除非债券是无风险的，否则它不能够对利率期限结构的变化进行免疫。