Vasicek模型深度解析和应用

Vasicek模型中，在时间增量dr过程中，短期利率的微小变动dr以a的速率回复到一个长期的均值水平b。这样的性质被称为均值回归性（mean reverting）。具体来讲，当利率高于b时，模型呈现一个负的漂移项，有将其拉回到水平b的趋势；反之，当利率低于b时，模型呈现一个正的漂移项，也有将其拉回到水平b的趋势。但Vasicek model也有问题，就是当初始利率较低时，它有可能导致出现负利率的可能，这与现实情况不符。而且波动项是一个常数，不依赖于具体的利率水平，这也是不符合实际情况的，但Vasicek模型最大的优点就是它具有解析解：

于是我们就有： E［rt］＝r0e－at＋b（1－e－at）

我们在Excel中用两种方法来模拟出瞬时利率走势图。第一种：利用随机过程的差分形式来递归。第二种：利用解析表达式。观察r（t）的解析解，我们发现，在表达式最后一项中含有积分符号，在Excel中我们并没有直接的函数来应用求解，所以若要利用公式来较为准确地模拟出瞬时利率变动，就必须自定义一个用于计算随机积分的函数，如下：

Function Integrate（a As Double，t As Double，step As Double）As Double

Dim sum As Double，i As Integer

sum＝0

For i＝0To Int（t／step）－1

sum＝sum＋Exp（a＊step＊i）＊Application．Worksheet Function．Norm SInv

（Rnd（））＊Sqr（step）

Next i

Integrate＝sum

End Function(www.xing528.com)

第三种：事实上，它的解还可以表示为：r（t）＝r（0）e－at＋b（1－e－at）＋Z（e2θt－1）e－at，这个公式更为简便，因为它不含积分项。

我们将三种方法模拟出的利率，放在同一张Excel表格中。如图7．3所示：

图7．3

在Vasicek模型假定下，既然已经解出积分的解析解，故可给出零息票债券的价格，即：

P（t，s）＝A（t，s）exp（－B（t，s）r（t））

其中，B（t，s）＝｛1－exp［－a（s－t）］｝／a

A（t，s）＝exp（｛［B（t，s）－（s－t）］（a2b－／2）｝／a2－B（t，s）2／4a）

有了零息债券的定价公式，再结合Y（t，T）＝－log P（t，T）就可以得到利率的期限结构曲线。我们在Excel中实现这个目标，因为这些计算过程都是很容易进行的。Vasieck模型要求短期利率r的三个参数（a，b，σ）必须根据历史数据估算出来，这里我们假定a＝0．18，潜在的利率回复水平为b＝0．08，扩散项的波动率为σ＝2．00％，且初始利率是6．00％。

请读者试着运用模拟运算表，计算不同的s值（0～30）所对应的零息债券收益率。然后作图，便能够画出利率期限结构图。期限结构图可以出现三种可能的形状（包括单调上升、驼峰和单调下降），主要是依赖于初始的短期利率。读者选择适当的r（0），并将三个不同类型的收益率曲线画在同一张图内。

图7．4