理解麦考莱久期和修正麦考莱久期：测量债券价格与收益率变动敏感性的指标

（1）麦考莱久期及修正的麦考莱久期

久期是测量债券价格相对于收益率变动的敏感性指标。其中最重要的一种久期就是1938年费雷里克·麦考莱首次提出的麦考莱久期，其次是修正的麦考莱久期。假设市场中存在某种无内含选择权的债券，1年支付m次。那么其定价公式为：

式中，P为债券价格，c为一年的票息率，y为到期收益率，n为债券到期年数， m为每年支付的次数。

我们将括号内的部分称为麦考莱久期。将麦考莱久期与（1＋y／m）的比值称为修正的麦考莱久期。

附息债券的麦考莱久期和修正的麦考莱久期均小于其到期期限。对于零息债券而言，麦考莱久期就是到期期限。我们知道，在所有其他因素不变的情况下，到期期限越长，债券价格的波动性越大。对于普通债券而言，当其他因素不变时，票面利率越低，麦考莱久期及修正的麦考莱久期就越大。同时，假设其他因素不变，久期越大，债券的价格波动性就越大。

从前面的公式可知，麦考莱久期表示的是每笔现金流量的期限按其现值占总现金流现值的比重计算出的加权平均数，它能够体现利率弹性的大小。因此，具有相同的麦考莱久期的债券，其利率风险是相同的。

我们在Excel中展示某个特定债券的价格与收益率关系曲线并计算麦考莱久期及修正的麦考莱久期。该特定债券的基本信息见Excel表的A3：B6，在D列中放入的是到期收益率的数值，E列放入的是对应的债券价格，其中对债券价格的计算是通过Excel内嵌的函数Price（Settlement，Maturity，ytm，redemption， frequency，［basis］）。债券定价函数的各参数的含义参见Excel的帮助说明。

图9．1

在以上的结果中，我们可以验证关于久期的一些基本结论：利率下降，价格上升，久期增加；利率上升，价格下降，久期降低。请读者试着借用这个Excel模板，验证票息下降、久期增加以及到期日增加、久期增加这两个结论。

（2）有效久期

某些债券由于含权性，在到期日之前赋予了债券发行人按照某一个价格赎回债券的权利或是赋予投资人将债券回售给发行人的权利。由于这种或有情况的出现，使得债券的定价会发生变化，于是前面计算的麦考莱久期及修正久期均不适用了。(www.xing528.com)

对于有效久期的计算，我们希望能够放到可转换债券的风险计量中进行，因为可转换债券就是一种含权债券，所以标准的麦考莱久期及修正久期不能被应用，只有通过计算有效久期才能对债券的利率风险进行准确计量。

（3）组合久期

在债券的投资组合管理中，我们通常还要关心利率变动对投资组合价值的影响，也就是要衡量某些债券投资组合的利率风险，即计量各种组合的久期。我们假设某组合P中含有3只债券，分别为P1，P2，P3，用V来表示组合P的债券价值， V1，V2，V3分别表示这三只债券的价值，那么就有V＝V1＋V2＋V3。设D表示组合P的组合久期，D1，D2，D3分别表示P1，P2，P3的久期，且w1，w2，w3分别是三只债券占组合的价值比重，那么我们有：

（4）关键利率久期

所谓关键利率久期，是指债券或债券投资组合在期限曲线上仅有某一年期的利率发生变化的情况下，债券价格的敏感性。其与久期的不同之处仅在于价格的改变是仅由某一年期的利率所引起。关键久期可以精确说明每一个年期利率发生变动后对债券价格的影响程度。我们在一个债券投资组合的框架下来讨论关键利率久期的问题。当我们已知影响该债券投资组合的全部关键利率的期限时，我们关心的是每一个关键利率的变动对投资组合头寸价值变动的影响情况。假定该投资组合有7个关键期限的利率，那么我们利用久期的定义方法来计算每一个关键利率变动1％后投资组合的价值变动情况，即计算出每一个关键利率久期。我们有一个简单的结论，即将所有的关键利率久期求和应该恰好正是该组合的久期。

我们在Excel中展示计算关键利率久期的过程，并验证以上结论。通过一个例子来讲解。假定某投资组合P，有债券1～债券3，它们的基本信息如表9．1所示。

表9．1

同时给出市场数据，即债券的即期收益率曲线（Spot Yield Curve）数据。

图9．2

在J列计算的是关键利率久期，而J13是J5：J11中7个关键利率久期的和，H13存放的是从组合久期。可见，两者是一致的，这就恰好验证了我们之前的结论。