随机变量函数分布的详细解析和考点解读

考情提要

考点精讲

（一）离散型随机变量函数的分布

设X是离散型随机变量，X的分布列为

则Y=g（X）（g是连续函数）也是一个离散型随机变量，此时Y的分布列就可以简单地表示为

当g（x1），g（x2），…，g（xn），…中某些值相等时，则把那些相等的值分别合并，并把对应的概率相加即可。

【例5.24】

设已知随机变量X的分布列如下，求Y=X2+X的分布列。

【解析】

Y=X2+X的分布列为

再对相等的值合并，得

（二）连续型随机变量函数的分布

1.当g（x）为严格单调函数时

设X是连续型随机变量，其密度函数为pX（x），Y=g（X）是另一个随机变量。若y=g（x）严格单调，其反函数h（y）有连续导函数，则Y=g（X）的密度函数为

其中a=min｛g（-∞），g（+∞）｝，b=max｛g（-∞），g（+∞）｝。

【例5.25】

设随机变量X～N（0，22），试求Y=-X的分布。

【解析】(www.xing528.com)

Y仍然服从正态分布，其数学期望和方差分别为

所以Y=-X的分布仍为N（0，22）。

【例5.25】表明X与-X有相同的分布，但这两个随机变量是不相等的，所以我们要明确分布相同与随机变量相等是两个完全不同的概念。

注：若随机变量X的分布函数FX（x）为严格单调增的连续函数，其反函数F-1X（y）存在，则Y=FX（X）服从（0，1）内的均匀分布U（0，1）。

2.当g（x）为其他形式时

当寻求Y=g（X）的分布有困难时，可直接由Y的分布函数FY（y）=P（g（X）≤y）出发，按函数g（x）的特点作个案处理。（考试过程中建议使用第二种方法）

【例5.26】

设随机变量X服从标准正态分布N（0，1），试求Y=X2的分布。

【解析】

先求Y的分布函数Y=FY（y）。由于Y=X2≥0，故当y≤0时，有FY（y）=0，当y＞0时，有

因此Y的分布函数为

再用求导的方法求出Y的密度函数

真题精练

1.设随机变量X具有概率密度fX（x）（-∞＜x＜+∞），求Y=X2的概率密度。

【2015山东大学】

2.设随机变量ξ的概率密度求η=3-ξ的密度函数。

【2016东北师范大学】