估计总体均值时样本量的确定和其对估计误差影响的详细解析

考情提要

考点精讲

（一）估计总体均值时样本量的确定

对总体均值进行区间估计时，在重复抽样或无限总体抽样条件下，估计误差为，由此可知，zα／2和样本容量n共同确定了估计误差的大小。对于给定的zα／2和总体标准差σ，就可以确定任一希望的估计误差所需要的样本量。所希望达到的估计误差为：

由此可以推出确定样本量的公式：

从式中可以看出：样本量与置信水平成正比；与总体方差成正比；与估计误差的平方成反比；与置信系数成正比。

知识点补充

（1）当总体方差未知时，其公式为：

（2）估计两个总体均值之差时样本容量的确定，其公式为：

【例7.18】

考虑总体均值的95.44%置信度的置信区间，已知总体服从正态分布且标准差为10，要使得到的置信区间的半径不超过1，需要的最小样本容量为多少？

【解析】

置信区间半径=，解得n≥400，因此最小样本容量为400。

样本量的圆整法则：当计算出的样本量不是整数时，将小数点后面的数值一律进位成整数，如24.68取25，24.32也取25等。

（二）估计总体比例时样本量的确定

与估计总体均值时样本量的确定方法类似，在重复抽样或无限总体抽样条件下，估计总体比例置信区间的估计误差为，zα／2的值、总体比例π和样本容量n共同确定了估计误差的大小。一旦确定了置信水平1-α，zα／2的值就确定了。由于总体比例的值是固定的，因此估计误差由样本量来确定，样本量越大，估计误差就越小，估计的精度就越好。希望达到的估计误差为：

由此可以推出确定样本量的公式：

知识点补充

（1）当总体比例未知时，其公式为：

（2）当π无法得知时，可以取π=0.5。

（3）估计两个总体比例之差时样本容量的确定，其公式为：

【例7.19】

根据以往的生产统计，某种产品的合格率约为90%，现要求估计误差为5%，在95%的置信区间下，应抽取多少个产品作为样本？

【解析】

即应抽取139个产品作为样本。

知识点补充

几个概念：抽样实际误差、抽样误差、抽样平均误差、估计误差、抽样极限误差、抽样边际误差。

（1）抽样实际误差度量了一次抽样过程中统计量与总体参数之间的差异。

（2）抽样误差，也叫抽样平均误差，是由抽样的随机性引起的样本结果与总体真值之间的误差。抽样误差并不是针对某个具体样本的检测结果与总体真实结果的差异而言的，抽样误差描述的是所有样本可能的结果与总体真值之间的平均差异。

（3）估计误差，也叫抽样边际误差、抽样极限误差，反映了样本统计量与总体参数之间抽样误差的允许范围。

【例7.20】

抽样极限误差反映了样本统计量与总体参数之间的（　）。(www.xing528.com)

A.抽样误差的平均数

B.抽样误差的标准差

C.抽样误差的可靠程度

D.抽样误差的可能范围

【答案】D

【解析】抽样极限误差的概念。

真题精练

1.当抽样方式与置信度不变的条件下，样本容量越大，则（　）。

A.可靠性越大

B.可靠性越小

C.置信区间越大

D.置信区间越小

【2011首都经济贸易大学】

2.在95%的置信水平下，以0.03的边际误差构造总体比例的置信区间时，应抽取的样本量为（　）。

A.900

B.1000

C.1100

D.1068

【2014山东大学】

3.对总体方差进行区间估计时，影响置信区间宽度的因素不包括（　）。

A.样本均值

B.置信水平

C.样本容量

D.样本标准差

【2017对外经济贸易大学】

4.拥有工商管理学士学位的大学毕业生年薪的标准差大约为2000元，假定想要以95%的置信水平估计年薪的置信区间，希望边际误差为400元，应抽取多大的样本容量？（　）

A.96

B.97

C.98

D.99

【2012重庆大学】